Условная возможность
Условный теория вероятности выйти из концепции принятия огромного риска. В настоящее время существует много проблем, связанных с азартными играми, такими как бросание монет, бросание игральных костей и игра в карты.
Теория условной вероятности применяется во многих различных областях, и гибкость Условная возможность предоставляет инструменты почти для самых разных нужд. теория вероятностей и образцы, связанные с исследованием вероятности наступления событий.
Представьте, что X и Y - два события случайного эксперимента. Впоследствии вероятность того, что X произойдет при том условии, что Y уже произошло с P (Y) ≠ 0, называется условной вероятностью и обозначается P (X / Y).
Следовательно, P (X / Y) = вероятность возникновения X, если при условии, что Y уже произошло.
P(X ⋂ Y)/P(Y) = n(X ⋂ Y)/n (Y )
Точно так же P (Y / X) = вероятность появления Y, поскольку X уже произошло.
P(X ⋂ Y)/P(X) = n(X ⋂ Y)/n (Y )
Вкратце, для некоторых случаев P (X / Y) используется для указания вероятности появления X, когда Y встречается. Точно так же P (Y / X) используется для указания вероятности того, что Y произойдет, пока происходит X.
Что такое теорема умножения о вероятности?
Если X и Y оба являются самоподдерживающимися (независимыми) событиями произвольного эксперимента, то
Р(Х ⋂ У) = Р(Х). P(X/Y), если P(X) ≠ 0
Р(Х ⋂ У) = Р(У). P(Y/X), если P(Y) ≠ 0
Что такое теоремы умножения для независимых событий?
If X и Y оба являются самоподдерживающимися (независимыми) событиями, связанными с произвольным экспериментом, тогда P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)
т.е. вероятность одновременного возникновения двух независимых событий равна умножению их вероятностей. Используя теорему умножения, имеем P (X ∩ Y) = P (Y) .P (Y / X)
Поскольку X и Y являются независимыми событиями, следовательно, P (Y / X) = P (Y)
Следовательно, P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)
Хотя события исключают друг друга:
Если X и Y являются взаимоисключающими событиями, то ⇒ n (X ∩ Y) = 0, P (X ∩ Y) = 0
Р (СЮЙ) = Р (Х) + Р (Y)
Для любых трех взаимоисключающих событий X, Y, Z:
P (X ∩ Y) = P (Y ∩ Z) = P (Z ∩ X) = P (X ∩ Y ∩ Z) = 0
P (X ⋃ Y ⋃ Z) = P (X) + P (Y) + P (Z)
Пока события независимы:
Если X и Y являются неограниченными (или независимыми) событиями, то
P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)
Р(ХУУ) = Р(Х) + Р(У) – Р(Х). П(Д)
Пусть X и Y - два события, связанные с произвольным (или случайным) экспериментом, тогда
Если Y⊂ X, то
(б) P(Y) ≤ P(X)
Аналогично, если X⊂ Y, то
б) Р(Х) ≤ Р(Y)
Вероятность появления ни X, ни Y не равна
Пример: Если из колоды карт выбрана одна карта. Какова вероятность того, что это либо пика, либо король?
решение:
P (A) = P (пиковая карта) = 13/52
P (B) = P (карта короля) = 4/52
P (либо пика, либо карта короля) = P (A или B)
= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)
= P (A) + P (B) -P (A) P (B)
=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}
= 4 / 13
Пример: Известно, что кто-то поражает цель с 3 шансами из 4, в то время как известно, что другой человек поражает цель с 2 шансами из 3. Выясните, насколько велика вероятность того, что цель будет поражена, когда оба человека будут пытаться.
решение:
вероятность поражения цели от первого лица = P (A) = 3/4
вероятность попадания в цель вторым человеком = P (B) = 2/3
Эти два события не исключают друг друга, поскольку оба человека достигают одной и той же цели = P (A или B).
= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)
= P (A) + P (B) -P (A) P (B)
=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}
= 11 / 12
Пример: If A и B два события такие, что P (A) = 0.4, P (A + B) = 0.7 и P (AB) = 0.2, то P (B)?
решение: Поскольку мы имеем P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB)
=> 0.7 = 0.4 + P (B) -0.2
=> P (B) = 0.5
Пример: Карта выбирается произвольно из колоды карт. Какова вероятность того, что карта является картой красного цвета или королевой?
Решение: Требуемая вероятность
P (красный + ферзь) -P (красный ⋂ королева)
= P (красный) + P (королева) -P (красный ⋂ королева)
=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13
Пример: Если вероятность того, что X не пройдет тест, равна 0.3, а вероятность Y равна 0.2, то найти вероятность того, что X или Y не пройдут тест?
Решение: Здесь P (X) = 0.3, P (Y) = 0.2
Теперь P (X ∪ Y) = P (X) + P (Y) -P (X ⋂ Y)
Поскольку это независимые события, поэтому
P (X ⋂ Y) = P (X). P (Y)
Таким образом, требуемая вероятность составляет 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44.
Пример: Вероятность неудачи по физике составляет 20%, а вероятность неудачи по математике - 10%. Каковы возможности не сдать хотя бы один предмет?
Решение: Пусть P (A) = 20/100 = 1/5, P (B) = 10/100 = 1/10
Поскольку события независимы, и мы должны найти
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A). P (B)
=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50
Таким образом, вероятность неудачи по одному предмету составляет (14/50) X 100 = 28%.
Пример: Вероятность решения вопроса тремя студентами составляет 1/2,1, 4/1 и 6/XNUMX соответственно. Каковы будут шансы ответить на вопрос?
Решение:
(i) Этот вопрос также может решить один студент
(ii) На этот вопрос могут ответить два студента одновременно.
(iii) На этот вопрос могут ответить три студента вместе.
P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A) .P (B) + P (B) .P (C) + P (C). P (A)] + [P (A) .P (B) .P (C)]
=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48
Пример: Случайная величина X имеет распределение вероятностей
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P(X) | 0.15 | 0.23 | 0.12 | 0.10 | 0.20 | 0.08 | 0.07 | 0.05 |
Для событий E = {X - простое число} и F = {X <4} найдите вероятность P (E ∪ F).
Решение:
E = {X - простое число}
P (E) = P (2) + P (3) + P (5) + P (7) = 0.62
F = {X <4}, P (F) = P (1) + P (2) + P (3) = 0.50
и P (E ⋂ F) = P (2) + P (3) = 0.35
P (E ∪ F) = P (E) + P (F) - P (E ⋂ F)
= 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77
Пример: Брошены три монеты. Если у одной из них появится хвост, то какова вероятность того, что все три монеты окажутся хвостом?
Решение: Рассматривать E это событие, при котором у всех трех монет появляется хвост и F событие, при котором у монеты появляется хвост.
F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
и E = {TTT}
Требуемая вероятность = P (E / F) = P (E ⋂F) / P (E) = 1/7
Полная вероятность и правило Бая
Закон полной вероятности:
Для пространства отсчетов S и n взаимоисключающих и исчерпывающих событий E1 E2 … .En связанный со случайным экспериментом. Если X - конкретное событие, которое происходит с событиями E1 или E2 или или En, затем
Правило Бая:
Рассматривать S - образец пространства, а E1И2,… ..En be n несовместимые (или взаимоисключающие) события, такие, что
и Р(Еi) > 0 для i = 1,2,…,n
Мы можем думать о Eiкак факторы, приведшие к исходу эксперимента. Вероятности P(Ei), i = 1, 2,… .., n называются априорными (или более ранними) вероятностями. Если оценка является результатом события X, где P(X)> 0. Тогда мы должны осознать возможность того, что воспринимаемое событие X было вызвано причиной Ei, то есть ищем условную вероятность P (Ei/ИКС) . Эти вероятности известны как апостериорные вероятности, определяемые правилом Байя как
Пример: Есть 3 Коробки, которые, как известно, содержат 2 синих и 3 зеленых шарика; 4 синих и 1 зеленый шарик и 3 синих и 7 зеленых шариков соответственно. Из одного ящика наугад вытягивается шарик, который оказывается зеленым шаром. Тогда какова вероятность того, что он был извлечен из Ящика, в котором больше всего зеленых шариков.
Решение: Рассмотрим следующие события:
A -> нарисованный мрамор зеленый;
E1 -> Коробка 1 выбрана;
E2 Коробка 2 выбрана
E3 Ящик 3 выбран.
P (E1) = P (E2) = P (E3) = 1/3, p (A / E1) = 3/5
Затем
P (A / E2) = 1/5, P (A / E3) = 7/10
Требуемая вероятность = P (E3/ А)
P (E3)Р(А/Е3)/Р(Е1)Р(А/Е1)+Р(Э2)Р(А/Е2)+Р(Э3)Р(А/Е3) = 7/15
Пример: На вступительном тесте есть вопросы с несколькими вариантами ответов. Есть четыре возможных правильных ответа на каждый вопрос, из которых правильный. Вероятность того, что ученик уловит правильный ответ на тот или иной вопрос, составляет 90%. Если он получит правильный ответ на конкретный вопрос, то какова вероятность того, что он предсказывал.
Решение: Мы определяем следующие события:
A1 : Он знает ответ.
A2 : Он может не знать ответа.
Э: Он знает правильный ответ.
P (A1) = 9/10, P (A2) = 1-9 / 10 = 1/10, P (E / A1) = 1,
Р(Е/А2) = 1/4
Пример: Ведро A содержит 4 желтых и 3 черных шарика и ведро B содержит 4 черных и 3 желтых шарика. Одно ведро берется наугад, и вынимается мрамор, который отмечается желтым цветом. Какова вероятность, что придет ведро B.
Решение: Он основан на теореме Байя.
Вероятность получения ковша A , P (A) = 1/2
Вероятность получения ковша B , P (B) = 1/2
Вероятность получения желтого мрамора из ведра A =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7
Вероятность получения желтого мрамора из ведра B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14
Общая вероятность выпадения желтых шариков = (2/7) + (3/14) = 1/2
Вероятность того, что желтый шарик достанется из ведра B
P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7
Вывод:
В этой статье мы в основном обсуждаем Условная возможность и теорема Байеса с примерами из них прямые и зависимые последствия испытания, которые мы обсуждаем до сих пор в последовательных статьях, мы связываем вероятность со случайной величиной, и некоторые знакомые термины, связанные с теорией вероятностей, которые мы обсудим, если вы хотите продолжить чтение, пройдите через:
Очерки вероятности и статистики Шаума и Wстраница в ikipedia.
Для дальнейшего изучения, пожалуйста, обратитесь к нашему страница математики.
