Точечные сечения или формулы отношений: 41 критическое решение

Основные примеры формул «Точечные сечения или отношения»

Случай-I

Задача 21: Найдите координаты точки P (x, y), которая внутренне разделяет отрезок прямой, соединяющий две точки (1,1) и (4,1) в соотношении 1: 2.

Решение:   Мы уже знаем,

Если точка Р (х, у) делит отрезок AB внутренне в соотношении м: н,где координаты A и B Он (x1,y1) и (x2,y2) соответственно. Тогда координаты P равны 

и

(См. Таблицу формул)

Используя эту формулу, мы можем сказать: (x1,y1) ≌ (1,1) т.е.   x1= 1, y1=1;

(x2,y2)≌ (4,1) т.е.   x2= 4, y2=1   

и

м: н  ≌ 1: 2 т.е.   т = 1, п = 2

Графическое представление

Следовательно,       

х =

( помещая значения m и n в   

Или, х =1*4+2*1/3 ( ставя ценности x1 &  x2 слишком )

Или, х = 4 + 2 / 3

Или, х = 6 * 3

 Or, х = 2

Аналогично получаем,  

y =

( помещая значения m и n в     y =

Или, у =(1*1+2*1)/3 ( ставя ценности y1 &  y2 слишком )

Или, у = 1 * 1 + 2/3

Или, y =  3/3

Или, y = 1

 Следовательно, x = 2 и y = 1 - координаты точки P, т.е. (2,1).   (Ответ)

Дополнительные ответы на вопросы приведены ниже для дальнейшей практики с использованием процедуры, описанной в задаче 21 выше: -

22 задачи: Найдите координаты точки, которая внутренне разделяет отрезок прямой, соединяющий две точки (0,5) и (0,0) в соотношении 2: 3.

                     Ответ (0,2)

23 задачи: Найдите точку, которая внутренне разделяет отрезок прямой, соединяющий точки (1,1) и (4,1) в соотношении 2: 1.

Ответ (3,1)

24 задачи: Найдите точку, которая лежит на отрезке прямой, соединяющем две точки (3,5,) и (3, -5,), ​​делящего его в соотношении 1: 1.

Ответ (3,0)

25 задачи: Найдите координаты точки, которая внутренне разделяет отрезок линии, соединяющий две точки (-4,1) и (4,1) в соотношении 3: 5.

Отв. (-1,1)

26 задачи: Найдите точку, которая внутренне разделяет отрезок прямой, соединяющий две точки (-10,2) и (10,2) в соотношении 1.5 : 2.5.

_____________________________

Кейс-II

Проблемы 27:   Найдите координаты точки Q (x, y), которая внешне разделяет отрезок прямой, соединяющий две точки (2,1) и (6,1) в соотношении 3: 1.

Решение:  Мы уже знаем,

Если точка Q (х, у) делит отрезок AB внешне в соотношении м: н,в котором координаты of A и B Он (x1,y1) и (x2,y2) соответственно, то координаты точки P равны 

и

(См. Таблицу формул)

Используя эту формулу, мы можем сказать:  (x1,y1) ≌ (2,1) т.е.  x1= 2, y1=1;

                                                    (x2,y2)≌ (6,1) т.е.   x2= 6, y2= 1 и   

                                                    м: н  ≌ 3: 1 т.е.    m=3, n =1   

Точечные разделы
Графическое представление

Следовательно, 

x =

( помещая значения m и n в     x  =

Или, x =(3*6)-(1*2)/2 ( ставя ценности x1 &  x2 слишком )

Или, x18-2 / 2

Или, x  = 16 / 2

Или, x = 8

Аналогично получаем,  

y =

( помещая значения m и n в     y =

Или, y =

( ставя ценности y1 &  y2 слишком )

Или, у = 3-1 / 2

Или, y =  2/2

Или, y = 1

 Следовательно, x = 8 и y = 1 - координаты точки Q, т.е. (8,1).   (Ответ)

Дополнительные ответы на вопросы приведены ниже для дальнейшей практики с использованием процедуры, описанной в задаче 27 выше: -

28 задачи: Найдите точку, которая внешне разделяет отрезок прямой, соединяющий две точки (2,2) и (4,2) в соотношении 3 : 1.

Ответ (5,2)

29 задачи: Найдите точку, которая внешне разделяет отрезок прямой, соединяющий две точки (0,2) и (0,5) в соотношении 5:2.

Ответ (0,7)

30 задачи: Найдите точку, которая лежит на продолженной части отрезка прямой, соединяющей две точки (-3, -2) и (3, -2) в соотношении 2 : 1.

Ответ (9, -2)

________________________________

Кейс-III

Проблемы 31:  Найдите координаты средней точки отрезка, соединяющего две точки (-1,2) и (1,2).

Решение:   Мы уже знаем,

Если точка R (х, у) быть серединой соединяющего отрезка линии А (х1,y1) и B (x2,y2).Тогда координаты R Он

и

(См. Таблицу формул)

Случай-III - это форма случая-I, в то время как m = 1 и n = 1

Используя эту формулу, мы можем сказать:  (x1,y1) ≌ (-1,2) т.е.  x1= -1, y1=2 и

                                                    (x2,y2)≌ (1,2) т.е.   x2= 1, y2=2

Графическое представление

Следовательно,

x =

( ставя ценности x1 &  x2  in x =

Или, x  = 0/2

Или, x = 0

Аналогично получаем, 

y =2 + 2 / 2 ( ставя ценности y1 &  y2  in y =

Или, y 4/2

Или, y = 2

Следовательно, x = 0 и y = 2 - координаты средней точки R ie (0,2).   (Ответ)

Дополнительные ответы на вопросы приведены ниже для дальнейшей практики с использованием процедуры, описанной в задаче 31 выше: -

32 задачи: Найдите координаты средней точки линии, соединяющей две точки (-1, -3) и (1, -4).

Ответ (0,3.5)

33 задачи: Найдите координаты средней точки, которая разделяет отрезок прямой, соединяющий две точки (-5, -7) и (5,7).

Ответ (0,0)

34 задачи: Найдите координаты средней точки, которая разделяет отрезок прямой, соединяющий две точки (10, -5) и (-7,2).

Ответ (1.5, -1.5)

35 задачи: Найдите координаты средней точки, которая разделяет отрезок прямой, соединяющий две точки (3, √2) и (1,32).

Ответ (2,2√2)

36 задачи: Найдите координаты средней точки, которая разделяет отрезок прямой, соединяющий две точки (2 + 3i, 5) и (2-3i, -5).

Ответ (2,0)

Примечание: как проверить, разделяет ли точка линию (длина = d единиц) внутри или снаружи на соотношение m: n

Если (m × d) / (m + n) + (n × d) / (m + n) = d, то внутреннее деление и

Если (m × d) / (m + n) - (n × d) / (m + n) = d, то внешнее деление

____________________________________________________________________________

Основные примеры формул «Площадь треугольника»

Случай-I 

Проблемы 37: Какова площадь треугольника с двумя вершинами А (1,2) и В (5,3) и высота по отношению к AB be 3 единиц в координатной плоскости?

 Решение:   Мы уже знаем,

If "ЧАС" быть ростом и «Б» быть основанием Треугольника, тогда  Площадь Треугольника = ½ × b × h.

(См. Таблицу формул)

Графическое представление

Используя эту формулу, мы можем сказать: 

 h = 3 единицы и b = √ [(х2-x1)2+ (y2-y1)2 ] т.е.  √ [(5-1)2+ (3-2)2 ]

                    Или, b = √ [(4)2+ (1)2 ]

                    Или, b = √ [(16 + 1 ]

                    Или,  b = √ 17 единиц

Следовательно, требуемая площадь треугольника равна   = ½ × b × h, т.е.

= ½ × (√ 17) × 3 единиц

= 3⁄2 × (√ 17) единиц (ответ)

______________________________________________________________________________________

Кейс-II

Проблемы 38:Какая площадь у треугольника с вершинами A (1,2), B (5,3) и C (3,5) в координатной плоскости?

 Решение:   Мы уже знаем,

If  А (х1,y1) B (x2,y2) и С (х3,y3) быть вершинами треугольника,

Площадь Треугольника  =|½[x1 (y2  y3) + х2 (y3  y2) + х3 (y2- у1)]|

(См. Таблицу формул)

Используя эту формулу, мы имеем 

                                              (x1,y1) ≌ (1,2) т.е.   x1= 1, y1=2;

                                              (x2,y2) ≌ (5,3) т.е.   x2= 5, y2= 3 и

                                              (x3,y3) ≌ (3,5) т.е.    x3= 3, y3=5

Графическое представление

Следовательно, площадь треугольника = | ½ [x1 (y2  y3) + х2 (y3  y1) + х3 (y1-y2)] | т.е. 

= | ½ [1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)] |  кв. ед. 

= | ½ [1x (-2) + (5 × 2) + (3 × 1)] |    кв. ед.

= | ½ [-2 + 10 + 3] |    кв. ед.

= | ½ х 11|     кв. ед.

= 11/2     кв. ед.

= 5.5      кв. ед.         (Отв.)

Дополнительные ответы на вопросы приведены ниже для дальнейшей практики с использованием процедуры, описанной в вышеупомянутых задачах: -

39 задачи: Найдите площадь треугольника с вершинами (1,1), (-1,2) и (3,2).

Ответ 2 кв. ед.

40 задачи: Найдите площадь треугольника с вершинами (3,0), (0,6) и (6,9).

Ответ 22.5 кв. ед.

41 задачи: Найдите площадь треугольника с вершинами (-1, -2), (0,4) и (1, -3).

Ответ 6.5 кв. ед.

42 задачи: Найдите площадь треугольника с вершинами (-5,0,), (0,5) и (0, -5).                                 Ответ 25 кв. ед.

 _______________________________________________________________________________________

Чтобы узнать больше о математике, следите за нашими Страница математики.

Наверх