Свойства перестановки и комбинации
При обсуждении перестановки и комбинации, поскольку мы имеем дело с выбором и расположением с учетом или без учета порядка, в зависимости от ситуации существуют различные типы и свойства для перестановка и комбинацияэти различия между перестановками и комбинациями мы объясним здесь на обоснованных примерах.
перестановки без повторения
Это обычная перестановка, которая упорядочивает n объектов, взятых по r за раз, т.е. nPr
n Pr= п! / (п-р)!
количество заказов n различных объектов, взятых все одновременно n Pn = п!
Кроме того, у нас есть
nP0 = п! / п! = 1
nPr = п.п-1PГ-1
0! = 1
1 / (- r)! = 0 или (-r)! = ∞
перестановки с повторением
Количество перестановок (расстановок) для разных элементов, взятых r за раз, где каждый элемент может произойти один, два, три раза, …… .. в r-раз больше при любом расположении = Количество способов заполнения r областей, где каждая элемент может быть заполнен любым из n элементов.
Количество перестановок = Количество способов заполнения r места = (п)r
Количество заказов, которые можно организовать с помощью n объектов, из которых p одинаковы (и одного вида) q похожи (и другого вида), r похожи (и другого вида) а остальные отличны nPr = п! / (п! д! г!)
Пример:
Какими способами можно распределить 5 яблок между четырьмя мальчиками, если каждый мальчик может взять одно или несколько яблок?
Решение: Это пример перестановки с повторением, поскольку мы знаем, что для таких случаев у нас есть
Количество перестановок = Количество способов заполнения r места = nr
Необходимое количество способов - 45 = 10, так как каждое яблоко можно раздать 4 способами.
Пример: Найти количество слов можно с помощью букв слова МАТЕМАТИКА, перегруппировав их.
Решение: Здесь мы можем заметить, что есть 2 M, 2 A и 2T, это пример перестановки с повторением
= п! / (п! д! г!)
Требуемое количество способов = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600
Пример: Сколько способов, у которых количество решек равно количеству орлов, если шесть одинаковых монет расположены в ряд.
Решение: Здесь мы можем заметить, что
Кол-во голов = 3
Количество хвостов = 3
А поскольку монеты идентичны, это пример перестановки с повторением = n! / (P! Q! R!)
Необходимое количество путей = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20
Круговая перестановка:
В круговой перестановке наиболее важно упорядочение объекта относительно других.
Итак, при круговой перестановке мы корректируем положение одного объекта и располагаем другие объекты во всех направлениях.
Круговая перестановка делится на два способа:
(i) Круговая перестановка, где настройки по часовой стрелке и против часовой стрелки предполагают другая перестановка, например, устройства для рассадки людей за столом.
(ii) Круговая перестановка, где отображаются настройки по часовой стрелке и против часовой стрелки. та же перестановка, например, сборку бусин для создания ожерелья.
Расположение по часовой и против часовой стрелки
Если порядок и движение против часовой стрелки и по часовой стрелке не отличается например, композиция из бусинок в ожерелье, цветочная композиция в гирлянде и т. д., затем количество круговых перестановок n различных элементов равно (n-1)! / 2
- Количество циклических перестановок для n различных элементов, взятых по r за раз, когда порядок движения по часовой стрелке и против часовой стрелки считается равным различный by nPr /r
- Количество циклических перестановок для n различных элементов, взятых по r за раз, когда порядок по часовой стрелке и против часовой стрелки не отличается от nPr / 2r
- Количество циклических перестановок n различных объектов равно (n-1)!
- Количество способов, которыми n за круглым столом могут сидеть разные мальчики (n-1)!
- Количество способов, которыми n различные драгоценные камни могут быть собраны в ожерелье, это (n-1)! / 2
Пример:
Сколько способов можно разместить пять ключей в кольце
Решение:
Так как по часовой стрелке и против часовой стрелки в случае кольца одинаковы.
Если последовательность и движение против часовой стрелки и по часовой стрелке не отличается то количество круговых перестановок n отдельные предметы
= (п-1)! / 2
Необходимое количество путей = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12
Пример:
Сколько было бы договоренностей? Если одиннадцать членов комитета сядут за круглый стол, так что президент и секретарь всегда сидят вместе.
Решение:
По фундаментальному свойству круговой перестановки
Количество циклических перестановок n различных вещей равно (n-1)!
Поскольку две позиции фиксированы, мы имеем
Требуемое количество способов (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760
Пример: Сколько бы 6 мужчин и 5 женщин могли поесть за круглым столом, если бы две женщины не могли сидеть вместе
Решение: По фундаментальному свойству круговой перестановки.
Количество циклических перестановок n различных вещей равно (n-1)!
Количество способов, которыми можно расположить 6 человек за круглым столом = (6 - 1)! = 5!
Теперь женщин можно устроить на 6! способов и Общее количество способов = 6! × 5!
Комбинации без повторения
Это обычная комбинация, которая представляет собой «количество комбинаций (выборок или групп), которые могут быть сформированы из n различные объекты, взятые r за раз, nCr = п! / (п-р)! г!
Также nCr =nCrr
n Pr /р! = п! / (п-р)! знак равноnCr
Пример: Найдите количество вариантов заполнения 12 вакансий, если есть 25 кандидатов и пять из них относятся к запланированной категории, при условии, что 3 вакансии зарезервированы для кандидатов в SC, а остальные открыты для всех.
Решение: Поскольку 3 вакантные должности заполнены от 5 претендентов в 5 C3 способов (т.е. 5 ВЫБЕРИТЕ 3), и теперь осталось 22 кандидатов, а оставшихся мест 9, поэтому было бы 22C9 (22 ВЫБРАТЬ 9) Выбор можно сделать в 5 C3 X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}
5 C3 X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200
Таким образом, выбор можно осуществить 4974200 способами.
Пример: На выборах 10 кандидатов и XNUMX вакансии. сколькими способами избиратель может отдать свой голос?
Решение: Поскольку есть только 3 вакансии на 10 кандидатов, это проблема 10 ВЫБЕРИТЕ 1, 10 ВЫБЕРИТЕ 2 и 10 ВЫБЕРИТЕ 3 примера,
Избиратель может проголосовать 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.
Таким образом, избиратель может проголосовать 175 способами.
Пример:В комнате для 9 человек 4 стульев, один из которых - одноместный с одним конкретным стулом. Сколько способов они могут сидеть?
Решение: Поскольку 3 стула можно выбрать в 8C3 и тогда 3 человека можно устроить в 3! способами.
3 человека размещаются на 8 стульях. 8C3 (т.е. 8 ВЫБЕРИТЕ 3) аранжировка
=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!
= 56X6 = 336
Они могут сидеть 336 способами.
Пример: Из пяти мужчин и 4 женщин будет сформирована группа из 6 человек. Какими способами это можно сделать, чтобы в группе было больше мужчин.
Решение: Здесь проблема включает различные комбинации например, 5 ВЫБЕРИТЕ 5, 5 ВЫБЕРИТЕ 4, 5 ВЫБЕРИТЕ 3 для мужчин и для женщин включает 4 ВЫБЕРИТЕ 1, 4 ВЫБЕРИТЕ 2 и 4 ВЫБЕРИТЕ 3, как указано ниже.
1 женщина и 5 мужчин =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4
2 женщины и 4 мужчины =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30
3 женщины и 3 мужчины =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40
Следовательно, всего путей = 4 + 30 + 40 = 74.
Пример: Количество способов, которыми 12 мальчиков могут проехать на трех машинах, так что по 4 мальчика в каждой машине, при условии, что три конкретных мальчика не поедут в одной машине.
Решение: Сначала опустите трех конкретных мальчиков, оставшихся 9 мальчиков может быть по 3 в каждой машине. Это можно сделать в 9 ВЫБРАТЬ 3, т.е. 9C3 способы,
Трех конкретных мальчиков можно разместить тремя способами по одному в каждой машине. Следовательно, общее количество путей = 3X9C3.
={9!/3!(9-3)!}X3= 252
так что 252 способа их размещения.
Пример: Сколько способов 2 зеленых и 2 черных шара вышли из мешка, содержащего 7 зеленых и 8 черных шаров?
Решение: Здесь мешок содержит 7 зеленых из которых мы должны выбрать 2, так что это 7 задач ВЫБРАТЬ 2 и 8 черных шаров из которых мы должны выбрать 2, так что это 8 задача ВЫБРАТЬ 2.
Следовательно, необходимое число = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588
Итак, 588 способами мы можем выбрать 2 зеленых и 2 черных из этого мешка.
Пример: Предусмотрено двенадцать различных символов английских слов. Из этих букв образованы 2 алфавитных имени. Сколько слов можно составить, если повторяется хотя бы одна буква.
Решение: здесь мы должны выбрать двухбуквенные слова из 2 букв, так что это задача 12 ВЫБРАТЬ 12.
Количество слов из 2 букв, в которых буквы повторялись каждый раз = 122
Но нет. слов при наличии двух разных букв из 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66
Требуемое количество слов = 122-66 = 144-66 = 78.
Пример: На плоскости 12 точек, из которых шесть коллинеарны, тогда сколько линий можно провести, соединив эти точки.
Решение: Для 12 точек на плоскости, чтобы сделать линию, нам нужны 2 точки, одинаковые для шести коллинеарных точек, так что это задача 12 ВЫБРАТЬ 2 и 6 ВЫБРАТЬ 2.
Количество строк = 12C2 – 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52
Таким образом, можно нарисовать линии 52 различными способами.
Пример: Найдите количество способов, которыми кабинет из 6 членов может быть составлен из 8 мужчин и 4 женщин так, чтобы кабинет состоял как минимум из 3 женщин.
Решение: Для формирования комитета мы можем выбрать из 3 мужчин и женщин и 2 мужчин 4 женщины, поэтому задача включает 8 ВЫБРАТЬ 3, 4 ВЫБРАТЬ 3, 8 ВЫБРАТЬ 2 и 4 ВЫБРАТЬ 4.
Можно сформировать два типа шкафа
(i) Наличие 3 мужчин и 3 женщин
(ii) Наличие 2 мужчин и 4 женщин
Возможное нет. способов = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252
Итак, 252 способами мы можем сформировать такой шкаф.
Это несколько примеров, в которых мы можем сравнить ситуацию nPr vs nCr в случае перестановки важен способ организации вещей. Однако в Комбинации порядок ничего не значит.
Заключение
Краткое описание перестановки и комбинации при повторении и неповторении с основной формулой и важные результаты представлены в виде реальных примеров, в этой серии статей мы подробно обсудим различные результаты и формулы с соответствующими примерами, если вы хотите продолжить чтение:
ОПИСАНИЕ ТЕОРИИ И ПРОБЛЕМ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ ШАУМА
https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
Для получения дополнительных статей по математике следуйте этой Ссылка
