Функция массы вероятности: 5 примеров

Дискретная случайная величина и математическое ожидание-II

Как мы уже знаем, дискретная случайная величина, это случайная величина, которая принимает счетное количество возможных значений в последовательности. Двумя важными понятиями, связанными с дискретными случайными величинами, являются вероятность дискретной случайной величины и функция распределения, мы ограничиваем название такими функциями вероятности и распределения, как,

Вероятностная функция массы (pmf)

                Компания Функция массы вероятности - вероятность дискретной случайной величины, поэтому для любой дискретные случайные величины  x₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄,……, Икс_k  соответствующие вероятности P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄) ……, P (x_k) - соответствующие вероятностные массовые функции.

В частности, для X = a, P (a) = P (X = a) является его pmf

Мы здесь и далее используем функция массы вероятности для дискретных случайных величин вероятность. Все вероятностные характеристики для вероятности, очевидно, будут применимы к функции массы вероятности, такой как положительность, и сумма всех pmf будет равна единице и т. д.

Кумулятивная функция распределения (cdf) / функция распределения

  Функция распределения, определяемая как

F (х) = Р (Х <= х)

для дискретной случайной величины с вероятностной функцией масс - кумулятивная функция распределения (cdf) случайной величины.

и математическое ожидание такой случайной величины мы определили было

теперь мы видим некоторые результаты математических ожиданий

1. Если х₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄,… .. - дискретные случайные величины с соответствующими вероятностями P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄)… Математическое ожидание для действительной функции g будет

Пример: для следующих вероятностных массовых функций найти E (X³)

Здесь g (X) = X³

Итак,

E (X³) = (-1)³ <em>0.2 + (0)³</em> 0.5 + (1)³ * 0.3

БЫВШИЙ³) = 0.1

Аналогичным образом для любого n-го порядка мы можем написать

Это называется n-м моментом.

2. Если a и b постоянные, то

E [aX + b] = aE [X] + b

Это легко понять как

= aE [X] + b

Разница с точки зрения ожиданий.

                Для среднего, обозначенного μ, дисперсия дискретной случайной величины X, обозначаемой var (X) или σ в терминах математического ожидания, будет

Var (X) = E [(X- μ)²]

и это мы можем дополнительно упростить как

Var (X) = E [(X- μ)²]

= Е [Х²] – 2 мк² + мк²

= Е [Х²] – мк²

это означает, что мы можем записать дисперсию как разность квадрата ожидания случайной величины и квадрата ожидания случайной величины.

т.е. Var (X) = E [X²] - (БЫВШИЙ])²

Пример:  когда брошен кубик, рассчитайте дисперсию.

Решение:  здесь мы знаем, когда кость будет брошена, вероятности для каждого лица будут

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

следовательно, для вычисления дисперсии мы найдем математическое ожидание случайной величины и ее квадрат как

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

БЫВШИЙ²] = 1². (1/6) +2². (1/6) +3². (1/6) +4². (1/6) +5². (1/6) +6².(1/6) =(1/6)(91)

и мы только что получили дисперсию как

Var (X) = E [X²] - (БЫВШИЙ])²

so

Вар (Х) = (91/6) - (7/2)² = 35 / 12

Один из важная идентичность для дисперсии is

1. Для произвольных постоянных a и b имеем

Var (aX + b) = a² Вар (X)

Это легко показать как

Var (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)² ]

= E [a²(Х - μ)²]

=a² E [(X-μ)²]

=a² Вар (X)

Бернулли Случайная переменная

      Швейцарский математик Джеймс Бернулли определил Случайная величина Бернулли как случайная величина, имеющая либо успех, либо неудачу только как два результата случайного эксперимента.

т.е. когда результат успех X = 1

Когда результат - неудача X = 0

Таким образом, функция массы вероятности для случайной величины Бернулли равна

p (0) = P {X = 0} = 1-p

p (1) = P {X = 1} = p

где p - вероятность успеха, а 1-p - вероятность неудачи.

Здесь мы также можем взять 1-p = q, где q - вероятность отказа.

Поскольку этот тип случайной величины, очевидно, дискретный, поэтому это одна из дискретных случайных величин.

Пример: Подбрасывание монеты.

Биномиальная случайная переменная

Если для случайного эксперимента, имеющего только результат как успех или неудачу, мы берем n испытаний, так что каждый раз мы получим успех или неудачу, тогда случайная величина X, представляющая результат для такого n пробного случайного эксперимента, называется Биномиальная случайная величина.

                Другими словами, если p - функция массы вероятности успеха в одном испытании Бернулли, а q = 1-p - вероятность неудачи, то вероятность наступления события x или i раз в n испытаниях будет

or

Пример: Если мы подбросим две монеты шесть раз и попадем в голову - это успех, а оставшиеся случаи - неудачи, то вероятность этого будет равна

аналогичным образом мы можем рассчитать для любого такого эксперимента.

Компания Биномиальная случайная величина имеет имя бином потому что он представляет собой расширение

Если мы поставим вместо n = 1, то это превратится в случайную величину Бернулли.

Пример: Если было подброшено пять монет и результат принимается независимо, то какова будет вероятность выпадения орла.

Здесь, если мы возьмем случайную величину X как количество голов, тогда она превратится в биномиальную случайную величину с n = 5 и вероятностью успеха как ½.

Итак, следуя функции массы вероятности для биномиальной случайной величины, мы получим

Пример:

В определенной компании вероятность брака 0.01 от производства. Компания производит и продает продукт в упаковке по 10 штук, а своим клиентам предлагает гарантию возврата денег, что не более 1 из 10 продуктов является дефектным, поэтому какую часть проданных продуктов в упаковке компания должна заменить.

Здесь, если X - случайная величина, представляющая дефектные продукты, тогда она имеет биномиальный тип с n = 10 и p = 0.01, тогда вероятность того, что упаковка вернется, равна

Пример: (удача / колесо фортуны) В особой игре на удачу в отеле игрок делает ставку на любое из чисел от 1 до 6, затем бросаются три кубика, и, если число появляется, игрок делает ставку один, два или три раза Игрок, который много единиц означает, если появляется один раз, то 1 единица, если на двух кубиках, то 2 единицы, а если на трех кубиках, то 3 единицы, проверьте с помощью вероятности, честная игра для игрока или нет.

Если мы предположим, что не будет нечестных средств с помощью техник игры в кости и мошенничества, тогда, если предположить результат игры в кости независимо, вероятность успеха для каждой кости составляет 1/6, а неудача будет

 1-1 / 6, так что это оказывается примером биномиальной случайной величины с n = 3

поэтому сначала мы рассчитаем вероятности выигрыша, назначив x, когда игроки выиграют

Теперь, чтобы рассчитать, справедлива игра для игрока или нет, мы вычислим математическое ожидание случайной величины.

E[X] = -125+75+30+3/216

= -17/216

Это означает, что вероятность проиграть игру для игрока, когда он сыграет 216 раз, равна 17.

Вывод:

   В этой статье мы обсудили некоторые из основных свойств дискретной случайной величины, функции массы вероятности и дисперсии. Кроме того, мы видели некоторые типы дискретных случайных величин. Прежде чем мы начнем с непрерывных случайных величин, мы попытаемся охватить все типы и свойства дискретных случайных величин, если вы хотите продолжить чтение, выполните следующие действия:

Очерки вероятности и статистики Шаума

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Для получения дополнительных тем по математике, пожалуйста, следуйте эту ссылку