После обсуждения определений и основных понятий мы перечислим все результаты и взаимосвязи перестановка и комбинация, в зависимости от всего этого, мы лучше познакомимся с концепцией перестановки и комбинирования, решая разные примеры.
Что следует помнить (перестановка)
- Количество способов заказа = nPr= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!)} / (nr)! = n! / {(nr)!}
- Количество размещаемых одновременно n различных объектов, взятых вместе, равно = nPn = п!
- nP0 = п! / п! = 1
- P = n. п-1PГ-1
- 0! = 1
- 1 / (- r)! = 0, (-r)! = ∞ (r∈ N)
- Количество способов заполнения r мест, где каждое место может быть заполнено любым из n объектов, Количество перестановок = Количество способов заполнения r мест = (n)r
Пример: Сколько чисел от 999 до 10000 можно сгенерировать с помощью чисел 0, 2, 3,6,7,8, где цифры не должны дублироваться?
Решение: Все числа от 999 до 10000 состоят из четырехзначных чисел.
Четырехзначные числа, состоящие из цифр 0, 2, 3,6,7,8, являются
Но здесь также задействованы те числа, которые начинаются с 0. Итак, мы можем взять числа, состоящие из трех цифр.
Принимая начальную цифру 0, количество способов расставить ожидающие 3 места из пяти цифр 2, 3,6,7,8 составляет 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60
Итак, требуемые числа = 360-60 = 300.
Пример: Сколько книг можно расположить в ряд, чтобы две упомянутые книги не были вместе?
Решение: Общее количество заказов на n разных книг = n !.
Если две упомянутые книги всегда вместе, то количество способов = (n-1)! X2
Пример: Сколько способов разделить по 10 мячей между двумя мальчиками, один получает два, а другой восемь.
Решение: A получает 2, B
gets 8; 10!/2!8!=45
A получает 8, B
получает 2; 10! / (8! 2!) = 45
это означает, что 45 + 45 = 90 способов поделить мяч.
Пример: Поиск числа алфавитов слова «CALCUTTA».
Решение: Необходимое количество путей = 8! / (2! 2! 2!) = 5040
Пример: На вечеринку приглашено XNUMX человек. Сколько разных способов сесть за круглый стол они и хозяин, если два человека должны сидеть по обе стороны от вратаря.
Решение: Всего будет 20 + 1 = 21 человек.
Два указанных человека и ведущий рассматриваются как одно целое, так что они остаются 21 - 3 + 1 = 19 человек, которые будут размещены в 18! способами.
Но два конкретных человека по обе стороны от хоста могут быть расположены в 2! способами.
Следовательно, есть 2! * 18! способами.
Пример : Сколько способов сделать гирлянду ровно из 10 цветов.
Решение: n гирлянду из цветов можно сделать за (n-1)! способами.
Гирлянду из 10 цветов можно приготовить 9! / 2 разными способами.
Пример: Найдите конкретное четырехзначное число, которое должно быть образовано 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы каждое число имело число 1.
Решение: После закрепления 1 на первой позиции из 4 мест 3 места могут быть заполнены7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.
Но некоторые числа, у которых четвертая цифра равна нулю, поэтому такие способы =6P2= 6! / (6-2)! = 20.
Всего способов = 7P3 – 6P2 = 210-20 = 180
Помните об этих моментах при комбинировании
- Количество комбинаций n объекты, из которых p идентичны, взяты r в то время
н.п.Cr+н.п.CГ-1+н.п.CГ-2+ …… .. +н.п.C0 , если r <= p и н.п.Cr+н.п.CГ-1+н.п.CГ-2+… .. +н.п.Crp , если r> p
- n выбрать 0 или n выбрать n равно 1, nC0 = nCn = 1, nC1 = п.
- nCr + nCГ-1 = п + 1Cr
- Cx = nCy <=> x = y или x + y = n
- n. п-1CГ-1 = (п-г + 1) nCГ-1
- nC0+nC2+nC4+…. =nC1+nC3+nC5… .. = 2п-1
- 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+ …… +2n + 1Cn=22n
- nCn+п + 1Cn+п + 2Cn+п + 3Cn+ ……… .. +2n-1Cn=2nCп + 1
- Количество комбинаций n разнородные вещи, взятые одновременно. nCn= п! / {п! (пп)!} = 1 / (0)! = 1
В продолжение решим несколько примеров
Пример: If 15Cr=15Cг + 5 , тогда каково значение r?
Решение: Здесь мы будем использовать вышеуказанное
nCr=nCномер в левой части уравнения
15Cr=15Cг + 5 => 15C15-р =15Cг + 5
=> 15-r = r + 5 => 2r = 10 => r = 10/2 = 5
поэтому значение r 5 подразумевает проблему 15 ВЫБЕРИТЕ 5.
Пример: If 2nC3 : nC2 = 44: 3 найти значение r, чтобы значение nCr будет 15.
Решение: Здесь данный член является соотношением 2n выберите 3 и n выберите 2 как
по определению комбинации
(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3
=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3
=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6
Теперь 6Cr= 15 => 6Cr=6C2 or 6C4 => г = 2, 4
так что проблема оказалась: 6 выберите 2 или 6 выберите 4
Пример: If nCГ-1= 36 nCr= 84 и nCг + 1= 126, тогда каково будет значение r?
решение: Ссылка на nCГ-1 / nCr = 36/84 и nCr /nCг + 1 = 84/126.
(n)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84
r / (n-r + 1) = 3/7 => 7r = 3n-3r + 3
=> 3n-10r = -3, и аналогично из второго рациона получаем
4н-10р = 6
Решая, получаем n = 9, r = 3
Итак, проблема оказалась: 9 выберите 3, 9 выберите 2 и 9 выберите 4.
Пример: Все в комнате всем пожимают руки. Общее количество рукопожатий - 66. Найдите количество человек в комнате.
nC2 = 66 => п! / {2! (П-2)!} = 66 => п (п-1) = 132 => п = 12
Решение: Таким образом, значение n равное 12 означает, что общее количество людей в комнате равно 12, а задача - 12, выберите 2.
Пример: В футбольном турнире сыграно 153 игры. Все команды сыграли в одну игру. найти количество групп, участвующих в турнире.
Решение:
здесь nC2 = 153 => n! / {2! (N-2)} = 153 => n (n-1) / 2 = 153 => n = 18
Таким образом, общее количество команд, принявших участие в турнире, составило 18. сочетание 18 выбрать 2 .
Пример Во время церемонии Дипавали каждый член клуба отправляет другим поздравительные открытки. Если в клубе 20 членов, каким будет общее количество способов обмена поздравительными открытками.
Решение: Так как два участника могут обмениваться картами друг с другом двумя способами, то есть 20, выберите 2 два раза.
2 х 20C2 = 2 x (20!) / {2! (20-2)!} = 2 * 190 = 380, будет 380 способов обмена поздравительными открытками.
Пример: Шесть символов плюс '+' и четыре минуса '-' должны быть расположены по прямой линии, чтобы не пересекались два символа '-', найдите общее количество способов.
Решение: Порядок может быть сделан как -+-+-+-+-+-+- знаки (-) могут быть поставлены на 7 свободных (заостренных) местах.
Следовательно, необходимое количество путей = 7C4 = 35.
Пример: If nC21 =nC6 , затем найдите nC15 =?
Решение: Данный nC21 =nC6
21 + 6 = п => п = 27
следовательно 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860
а это 27 выберите 15.
Заключение
Некоторые примеры взяты в зависимости от отношений и результатов, в качестве количества примеров мы можем взять каждый из результатов, но здесь я хочу показать важную вещь, как мы можем использовать любой результат в зависимости от ситуации, если вам требуется дополнительное чтение, вы можете просмотрите контент или, если вам нужна личная помощь, вы можете бесплатно связаться с нами по некоторым из связанных материалов, которые вы можете найти по адресу:
Чтобы узнать больше о математике, проверьте это ссылке.
ОПИСАНИЕ ТЕОРИИ И ПРОБЛЕМ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ ШАУМА
