15 примеров перестановок и комбинаций

Иллюстрация концепции Перестановки и Комбинации на примерах

В этой статье мы обсудили несколько примеров, которые укрепят фундамент студентов на Перестановки и комбинации чтобы получить представление о концепции, хорошо известно, что перестановки и комбинации - это процесс вычисления возможностей, разница между ними заключается в том, имеет ли значение порядок или нет, поэтому здесь, пройдя количество примеров, мы получим убрать путаницу, где какой использовать.

Способы упорядочивания или выбора небольшого или равного количества людей или предметов одновременно из группы людей или предметов, при условии должного внимания к расположению в порядке планирования или отбора, называются перестановки.

Каждая отдельная группа или выбор, которые можно создать, взяв некоторые или все элементы, независимо от того, как они организованы, называется сочетание.

Базовая перестановка (формула nPr) Примеры

            Здесь мы создаем группу из n различных объектов, выбранных по r за раз, что эквивалентно заполнению r мест из n вещей.

Количество способов расстановки = Количество способов заполнения r мест.

ⁿP_r = n, (n-1). (n-2)…(номер+1) = n/(номер)!

so формула nPr мы должны использовать это

ⁿP_r = n!/(номер)!

Пример 1): есть поезд, в котором 7 сидячих мест остаются пустыми, тогда сколько способов могут разместиться три пассажира.

решение: Здесь n = 7, r = 3

поэтому Необходимое количество способов =

ⁿP_r = n!/(номер)!

⁷P₃ = 7!/(7-3)! = 4!.5.6.7/4! = 210

210 способами могут разместиться 3 пассажира.

Пример 2) Сколько способов можно выбрать 4 человека из 10 женщин в качестве руководителей групп?

решение: Здесь n = 10, r = 4

поэтому Необходимое количество способов =

ⁿP_r = n!/(номер)!

¹⁰P₄ = 10!/(10-4)! = 6!7.8.9.10/6! = 5040

5040 способами 4 женщины могут быть выбраны в качестве руководителей групп.

Пример 3) Сколько возможных перестановок из 4 разных букв, выбранных из двадцати шести букв алфавита?

решение: Здесь n = 26, r = 4

поэтому Необходимое количество способов =

ⁿP_r = n!/(номер)!

²⁶P₄ = 26!/(26-4)! = 22!.23.24.25.26/22! = 358800

Доступно 358800 способов, 4 различных буквенных перестановки.

Пример 4) Сколько различных трехзначных перестановок доступно, выбираемых из десяти цифр от 0 до 9 вместе? (Включая 0 и 9).

решение: Здесь n = 10, r = 3

поэтому Необходимое количество способов =

ⁿP_r = n!/(номер)!

¹⁰P₃ = 10!/(10-3)! = 7!.8.9.10/7! = 720

Доступны 720 способов трехзначных перестановок.

Пример 5) Узнайте, какими способами судья может присудить первое, второе и третье место в соревновании с 18 участниками.

решение: Здесь n = 18, r = 3

поэтому Необходимое количество способов =

ⁿP_r = n!/(номер)!

¹⁸P₃ = 18!/(18-3)! = 15!.16.17.18/15! = 4896

Среди 18 участников 4896 способов судья может присудить 1-е, 2-е и 3-е место в конкурсе.

Пример

6) Найдите количество способов, по которым 7 человек могут организовать себя в ряд.

решение: Здесь n = 7, r = 7

поэтому Необходимое количество способов =

ⁿP_r = n!/(номер)!

⁷P₇ = 7!/(7-7)! = 7!/0! = 5040

5040 способов организации 7 человек в ряд.

Примеры на основе комбинации (формула nCr / n выберите формулу k)

Количество комбинаций (выборок или групп), которые могут быть созданы из n различных объектов, взятых r (0 <= r <= n) за раз, равно

Это широко известно как nCr или n выберите формулу k.

ⁿC_k = п!/к!(нк)!

Примеры:

1) Если у вас есть три платья разного цвета: красный, желтый и белый, то можете ли вы найти другую комбинацию, если вам нужно выбрать любые два из них?

Решение: здесь n = 3, r = 2 это 3 ВЫБРАТЬ 2 проблема

ⁿC_r = n!/r!(номер)!

³C₂ = 3!/2!(3-2)! = 2!.3/2!.1 = 3

В 3 различных комбинациях вы получите любые два из них.

2) Сколько различных комбинаций можно составить, если у вас есть 4 разных предмета, и вам нужно выбрать 2?

Решение: здесь n = 4, r = 2 это 4 ВЫБРАТЬ 2 проблема

ⁿC_r = n!/r!(номер)!

⁴C₂ = 4!/2!(4-2)! = 2!.3.4/2!.2! = 6

В 6 различных комбинациях вы получите любые два из них.

3) Сколько различных комбинаций можно составить, если у вас всего 5 персонажей, и вам нужно выбрать любые 2 из них?

Решение: здесь n = 5, r = 2 это 5 ВЫБРАТЬ 2 проблема

ⁿC_r = n!/r!(номер)!

⁵C₂ = 5!/2!(5-2)! = 3!.4.5/2!.3! = 10

В 10 различных комбинациях вы получите любые два из них.

4) Найдите количество комбинаций 6, выберите 2.

Решение: здесь n = 6, r = 2 это 6 ВЫБРАТЬ 2 проблема

ⁿC_r = n!/r!(номер)!

⁶C₂ = 6!/2!(6-2)! = 4!.5.6/2!.4! = 15

В 15 различных комбинациях вы получите любые два из них.

5) Найдите количество способов выбрать 3 члена из 5 разных партнеров.

Решение: здесь n = 5, r = 3 это 5 ВЫБРАТЬ 3 проблема

ⁿC_r = n!/r!(номер)!

⁵C₃ = 5!/3!(5-3)! = 3!.4.5/3!.2! = 10

В 10 различных комбинациях вы получите любые три из них.

6) Коробка с мелками красного, синего, желтого, оранжевого, зеленого и фиолетового цветов. Сколько разных способов вы можете использовать, чтобы нарисовать только три цвета?

Решение: здесь n = 6, r = 3 это 6 ВЫБРАТЬ 3 проблема

ⁿC_r = n!/r!(номер)!

⁶C₃ = 6!/3!(6-3)! = 3!.4.5.6/3!.3.2.1 =20

В 20 различных комбинациях вы получите любые три из них.

7) Найдите количество комбинаций для 4, выберите 3.

Решение: здесь n = 4, r = 3 это 4 ВЫБРАТЬ 3 проблема

ⁿC_r = n!/r!(номер)!

⁴C₃ = 4!/3!(4-3)! = 3!.4/ 3!.1! = 4

В 4 различных комбинациях вы получите любые три из них.

8) Сколько разных комитетов из пяти человек может быть избрано из 10 человек?

Решение: здесь n = 10, r = 5 это 10 ВЫБРАТЬ 5 проблемы

ⁿC_r = п!/р!(номер)!

¹⁰C₅ = 10!/5!(10-5)! = 10!/5!.5! = 5!.6.7.8.9.10/5!.5.4.3.2 = 7.4.9 =252

Таким образом, из 252 человек могут быть избраны 5 различных комитета по 10 человек.

9) Всего в колледже 12 волейболистов, которые будут составлены из команды из 9 игроков. Если капитан останется последовательным, команду можно будет сформировать разными способами.

Решение: здесь, поскольку капитан уже был выбран, теперь из 11 игроков нужно выбрать 8 n = 11, r = 8 это 11 ВЫБРАТЬ 8 проблема

ⁿC_r = n!/r!(номер)!

¹¹C₈ = 11!/8!(11-8)! = 11!/8!.3! = 8!.9.10.11/8!.3.2.1 = 3.5.11 = 165

Так что, если капитан останется последовательным, команду можно будет сформировать 165 способами.

10) Найдите количество комбинаций 10, выберите 2.

Решение: здесь n = 10, r = 2 это 10 ВЫБРАТЬ 2 проблема

ⁿC_r = n!/r!(номер)!

¹⁰C₂ = 10!/2!(10-2)! = 10!/2!.8! = 8!.9.10/2!.8! = 5.9 = 45

В 45 различных комбинациях вы получите любые два из них.

Мы должны увидеть разницу в том, что nCr - это количество способов, которыми вещи могут быть выбраны способами r, а nPr - это количество способов, которыми вещи могут быть отсортированы с помощью r. Мы должны помнить, что для любого сценария перестановки очень важно то, как все устроено. Однако в комбинации порядок ничего не значит.

Заключение

Подробное описание с примерами перестановок и комбинаций было предоставлено в этой статье с несколькими примерами из реальной жизни, в серии статей мы подробно обсудим различные результаты и формулы с соответствующими примерами, если вы заинтересованы в дальнейшем изучении. это ссылке.

Справка

1. ОПИСАНИЕ ТЕОРИИ И ПРОБЛЕМ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ ШАУМА
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination