Нормальная случайная величина: 3 важных факта

Нормальная случайная величина и нормальное распределение

Случайная величина с бесчисленным набором значений, как известно, является непрерывной случайной величиной, а функция плотности вероятности с помощью интегрирования, поскольку площадь под кривой дает непрерывное распределение. Теперь мы сосредоточимся на одной из наиболее часто используемых и часто используемых непрерывных случайных величин. а именно нормальная случайная величина, которая имеет другое название как гауссова случайная величина или гауссовское распределение.

Нормальная случайная величина

Нормальная случайная величина - это непрерывная случайная величина с функцией плотности вероятности

имея в виду μ и дисперсия σ² в качестве статистических параметров и геометрически функция плотности вероятности имеет колоколообразную кривую, которая симметрична относительно среднего μ.

Мы знаем, что функция плотности вероятности имеет полную вероятность как единицу, поэтому

положив y = (x-μ) / σ

это двойное интегрирование может быть решено путем преобразования его в полярную форму

которое является требуемым значением, поэтому оно проверяется для интеграла I.

Если X нормально распределен с параметром μ и σ² то Y = aX + b также нормально распределено с параметрами aμ + b и a²μ²

Ожидание и дисперсия нормальной случайной величины

Ожидаемое значение нормальной случайной величины и дисперсию, которые мы получим с помощью

где X нормально распределен со средними параметрами μ и стандартное отклонение σ.

так как среднее значение Z равно нулю, поэтому мы имеем дисперсию как

с помощью интеграции по частям

для переменной Z графическая интерпретация выглядит следующим образом

и площадь под кривой для этой переменной Z, которая известна как стандартная нормальная переменная, это рассчитывается для эталона (приведенного в таблице), так как кривая симметрична, поэтому для отрицательного значения площадь будет такой же, как и для положительных значений

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56356	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793
0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891
1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189
1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670
2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361
2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983

поскольку мы использовали замену

Здесь имейте в виду, что Z является стандартной нормальной переменной, где как непрерывная случайная величина X нормально распределена нормальная случайная величина со средним значением μ и стандартным отклонением σ.

Итак, чтобы найти функцию распределения для случайной величины, мы будем использовать преобразование в стандартную нормальную переменную как

для любого значения a.

Пример: На стандартной нормальной кривой найдите площадь между точками 0 и 1.2.

Если мы будем следовать таблице, значение 1.2 в столбце 0 будет 0.88493, а значение 0 - 0.5000,

Пример: найти площадь стандартной нормальной кривой в пределах от -0.46 до 2.21.

Из заштрихованной области мы можем раздвоить эту область от -0.46 до 0 и от 0 до 2.21, потому что нормальная кривая симметрична относительно оси y, поэтому площадь от -0.46 до 0 такая же, как от 0 до 0.46, таким образом, из таблицы

так что мы можем записать это как

Общая площадь = (область между z = -0.46 и z = 0) + (область между z = 0 и z = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Пример: Если X - нормальная случайная величина со средним значением 3 и дисперсией 9, найдите следующие вероятности

Р2

Р{Х>0}

Р|Х-3|>6

Решения: поскольку у нас есть

поэтому раздваиваясь на интервалы от -1/3 до 0 и от 0 до 2/3, мы получим решение из табличных значений

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

Пример: Наблюдатель по делу об отцовстве утверждает, что продолжительность роста человека (в днях)

обычно распределяется со средними параметрами 270 и дисперсией 100. В этом случае подозреваемый, являющийся отцом ребенка, предоставил доказательство того, что он находился за пределами страны в течение периода, который начался за 290 дней до рождения ребенка и закончился на 240 дней раньше рождение. Найти вероятность того, что у матери могла быть очень длительная или очень короткая беременность, указанная свидетелем?

Пусть X обозначает нормально распределенную случайную величину для беременности и считает, что подозреваемый является отцом ребенка. В этом случае рождение ребенка произошло в указанное время имеет вероятность

Связь между нормальной случайной величиной и биномиальной случайной величиной

В случае биномиального распределения среднее значение равно np, а дисперсия - npq, поэтому, если мы преобразуем такую биномиальную случайную величину с таким средним и стандартным отклонением, имеющим очень большое n и очень маленькое p или q, приближающееся к нулю, тогда стандартная нормальная переменная Z с помощь этих средних и дисперсии

здесь с точки зрения Бернулли испытания X считает количество успехов в n попытках. По мере того, как n увеличивается и приближается к бесконечности, эта нормальная вариация тем же самым образом становится стандартной нормальной вариацией.

Связь биномиальной и стандартной нормальной переменных можно найти с помощью следующей теоремы.

Предельная теорема ДеМуавра Лапласа

If S_n обозначает количество успехов, которые происходят, когда n независимые испытания, каждое из которых закончилось успехом с вероятностью p , то выполняются для любых а <Ь,

Пример: С помощью нормального приближения к биномиальной случайной величине найдите вероятность появления 20-кратного хвоста, когда честная монета подбрасывается 40 раз.

Решение: Предположим, что случайная величина X представляет возникновение хвоста, поскольку биномиальная случайная величина является дискретной случайной величиной, а нормальная случайная величина является непрерывной случайной величиной, поэтому, чтобы преобразовать дискретную в непрерывную, мы запишем ее как

и если мы решим данный пример с помощью биномиального распределения, мы получим его как

Пример: Чтобы определить эффективность определенного питания в снижении уровня холестерина в кровообращении, 100 человек помещаются на питание. Количество холестерина наблюдали в течение определенного времени после кормления. Если из этой выборки 65 процентов имеют низкий уровень холестерина, то питание будет одобрено. Какова вероятность того, что диетолог одобрит новое питание, если на самом деле это не повлияет на уровень холестерина?

решение: Пусть случайная переменная выражает уровень холестерина, если он снижается на питание, так что вероятность для такой случайной переменной будет ½ для каждого человека, если X обозначает низкое количество людей, то вероятность того, что результат будет одобрен, даже если нет эффекта питания для снизить уровень холестерина

Вывод:

В этой статье рассматривается понятие непрерывной случайной величины, а именно нормальной случайная переменная и его распределение с функцией плотности вероятности были обсуждены, и среднее значение статистического параметра, дисперсия для нормальной случайной величины даны. Преобразование нормально распределенной случайной величины в новую стандартную нормальную переменную и площадь под кривой для такой стандартной нормальной переменной приведены в табличной форме. связь с дискретной случайной величиной также упоминается в примере , если вы хотите продолжить чтение, пройдите через:

Очерки вероятности и статистики Шаума

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Для получения дополнительных тем по математике проверьте эту страницу.