Моментогенерирующие функции: 13 важных фактов

Функция генерирования момента    

Функция генерирования моментов - очень важная функция, которая генерирует моменты случайной величины, которые включают среднее значение, стандартное отклонение, дисперсию и т. Д., Поэтому с помощью только функции генерирования моментов мы можем найти как основные моменты, так и более высокие моменты. В этой статье мы увидит функции, производящие моменты для различных дискретных и непрерывных случайных величин. поскольку производящая функция момента (MGF) определяется с помощью математического ожидания, обозначенного M (t) как

и используя определение математическое ожидание для дискретной и непрерывной случайной величины эта функция будет

который, подставляя значение t как ноль, генерирует соответствующие моменты. Эти моменты мы должны собирать, дифференцируя эту производящую функцию момента, например, для первого момента или означают, что мы можем получить, дифференцируя один раз как

Это дает намек на то, что дифференцирование взаимозаменяемо при ожидании, и мы можем записать его как

и

если t = 0, указанные выше моменты будут

и

В целом можно сказать, что

следовательно

Производящая функция момента биномиального распределения || Производящая функция момента биномиального распределения || MGF биномиального распределения || Среднее и дисперсия биномиального распределения с использованием производящей функции момента

Функция создания момента для случайной величины X, которая является биномиальным распределением, будет следовать функции вероятности биномиального распределения с параметрами n и p как

который является результатом биномиальной теоремы, теперь дифференцируя и полагая значение t = 0

который является средним или первым моментом биномиального распределения, аналогично второй момент будет

так что дисперсия биномиального распределения будет

которое является стандартным средним и дисперсией биномиального распределения, аналогично более высокие моменты также мы можем найти с помощью этой производящей функции момента.

Момент генерирующая функция Рыба распространение ||Рыба производящая функция момента распределения || MGF Рыба распределение || Среднее и дисперсия распределения Пуассона с использованием моментной производящей функции

 Если у нас есть случайная величина X, которая является распределением Пуассона с параметром Лямбда, тогда функция, производящая момент для этого распределения, будет

теперь дифференцируя это даст

это дает

что дает среднее значение и дисперсию для распределения Пуассона, что верно

Моментная производящая функция экспоненциального распределения ||Экспоненциальный производящая функция момента распределения || MGF Экспоненциальный распределение || Среднее и дисперсия Экспоненциальный распределение с использованием производящей функции момента

                Функция создания момента для экспоненциальной случайной величины X, следуя определению, имеет вид

здесь значение t меньше, чем параметр лямбда, теперь дифференцирование даст

который предоставляет моменты

явно

Каковы среднее значение и дисперсия экспоненциального распределения.

Моментная производящая функция нормального распределения ||Правилоl производящая функция момента распределения || MGF Правилоl распределение || Среднее и дисперсия нормальная распределение с использованием производящей функции момента

  Производящая функция момента для непрерывных распределений также такая же, как и для дискретного, поэтому производящая функция момента для нормального распределения со стандартной функцией плотности вероятности будет иметь вид

эту интеграцию мы можем решить настройкой как

поскольку значение интегрирования равно 1. Таким образом, производящая функция момента для стандартной нормальной переменной будет иметь вид

отсюда мы можем найти для любой общей нормальной случайной величины производящую функцию момента, используя соотношение

таким образом

так дифференциация дает нам

таким образом

так что разница будет

Моментная производящая функция суммы случайных величин

Компания Функция генерирования момента суммы случайных величин дает важное свойство, заключающееся в том, что она равна произведению производящей функции момента соответствующих независимых случайных величин, то есть для независимых случайных величин X и Y, тогда производящая функция момента для суммы случайной величины X + Y равна

Функция генерирования момента
МГФ СУММЫ

здесь производящие функции моментов каждых X и Y независимы по свойство математического ожидания. Последовательно найдем сумму производящих функций моментов различных распределений.

Сумма биномиальных случайных величин

Если случайные величины X и Y распределены биномиальным распределением с параметрами (n, p) и (m, p) соответственно, то моментная производящая функция их суммы X + Y будет

где параметры суммы равны (n + m, p).

Сумма пуассоновских случайных величин

Распределение суммы независимых случайных величин X и Y с соответствующими средними значениями, которые распределены распределением Пуассона, можно найти как

где

- среднее значение пуассоновской случайной величины X + Y.

Сумма нормальных случайных величин

     Рассмотрим независимые нормальные случайные величины X и Y с параметрами

то для суммы случайных величин X + Y с параметрами

поэтому производящая функция момента будет

которая является функцией, производящей момент с аддитивным средним и дисперсией.

Сумма случайного числа случайных величин

Чтобы найти моментную производящую функцию суммы случайного числа случайных величин, допустим, что случайная величина

где случайные величины X1,X2,… - последовательность случайных величин любого типа, которые являются независимыми и одинаково распределенными, то порождающая функция момента будет иметь вид

Что дает производящую функцию момента Y при дифференцировании как

следовательно

аналогичным образом двукратное дифференцирование даст

которые дают

таким образом, дисперсия будет

Пример случайной величины хи-квадрат

Вычислите производящую функцию момента случайной величины хи-квадрат с n-степенью свободы.

Решение: рассмотрим случайную величину хи-квадрат с n-степенью свободы для

последовательность стандартных нормальных переменных, то производящая функция момента будет

так это дает

нормальная плотность со средним 0 и дисперсией σ2 интегрируется в 1

которая является требуемой производящей функцией момента n степеней свободы.

Пример равномерной случайной величины

Найти производящую функцию момента случайной величины X, которая имеет биномиальное распределение с параметрами n и p при заданном условный случайная величина Y=p на интервале (0,1)

Решение: найти производящую функцию момента случайной величины X, заданной Y

используя биномиальное распределение, sin Y - равномерная случайная величина на интервале (0,1)

Совместная функция создания момента

Производящая функция совместного момента для n случайных величин X1,X2,…,ИКСn

где т1,t2, …… тn - действительные числа, из совместной производящей функции момента мы можем найти индивидуальную производящую функцию момента как

Теорема: случайные величины X1,X2,…,ИКСn независимы тогда и только тогда, когда производящая функция совместного элемента

Доказательство. Предположим, что данные случайные величины X1,X2,…,ИКСn независимы тогда

Теперь предположим, что производящая функция совместного момента удовлетворяет уравнению

  • для доказательства случайных величин X1,X2,…,ИКСn независимы, мы получаем результат, что совместная функция, производящая момент, однозначно дает совместное распределение (это еще один важный результат, требующий доказательства), поэтому мы должны иметь совместное распределение, которое показывает, что случайные величины независимы, следовательно, необходимое и достаточное условие доказано.

Пример производящей функции Joint Moment

1. Вычислить совместную производящую функцию момента случайной величины X + Y и XY.

Решение: Так как сумма случайных величин X + Y и вычитание случайных величин XY независимы, как и для независимых случайных величин X и Y, функция создания совместного момента для них будет

поскольку эта производящая функция момента определяет совместное распределение, поэтому из этого мы можем иметь X + Y и XY - независимые случайные величины.

2. Рассмотрим для эксперимента количество подсчитанных и неучтенных событий, распределенных распределением Пуассона с вероятностью p и средним значением λ, покажите, что количество подсчитанных и подсчитанных событий не зависит от соответствующих средних значений λp и λ (1-p).

Решение: мы будем рассматривать X как количество событий, а Xc количество подсчитанных событий, поэтому количество неучтенных событий составляет XXc, функция генерации совместного момента будет генерировать момент

а по моменту производящей функции биномиального распределения

и, сняв ожидание с них, дадут

Вывод:

Используя стандартное определение производящей функции момента, были обсуждены моменты для различных распределений, таких как биномиальное, пуассоновское, нормальное и т. подходящие примеры, если вам требуется дополнительное чтение, просмотрите книги ниже.

Дополнительные статьи по математике см. В наших Страница математики.

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH

Наверх