11 фактов о математических ожиданиях и случайных величинах

Математическое ожидание и случайная величина    

     Математическое ожидание играет очень важную роль в теории вероятностей, основное определение и основные свойства математического ожидания, которые мы уже обсуждали в предыдущих статьях, теперь, после обсуждения различных распределений и типов распределений, в следующей статье мы познакомимся с некоторыми другими расширенные свойства математического ожидания.

Ожидание суммы случайных величин | Ожидание функции случайных величин | Ожидание совместного распределения вероятностей

     Мы знаем, что математическое ожидание случайной величины дискретной природы равно

а для непрерывного -

теперь для случайной величины X и Y если дискретная то с совместным функция вероятности р (х, у)

математическое ожидание функции случайной величины X и Y будет

и если непрерывный, то с совместной функцией плотности вероятности f (x, y) математическое ожидание функции случайной величины X и Y будет

если g является сложением этих двух случайных величин в непрерывной форме,

и если для случайных величин X и Y имеем

Х>У

тогда ожидание также

Пример

Больница Covid-19 равномерно распределена на дороге длиной L в точке X, транспортное средство, несущее кислород для пациентов, находится в точке Y, которая также равномерно распределена на дороге. Найдите ожидаемое расстояние между больницей Covid-19 и кислородный транспорт, если они независимы.

Решение:

Чтобы найти ожидаемое расстояние между X и Y, мы должны вычислить E {| XY | }

Теперь совместная функция плотности X и Y будет

с

следуя этому, мы имеем

теперь значение интеграла будет

Таким образом, ожидаемое расстояние между этими двумя точками будет

Ожидание выборочного среднего

  В качестве выборочного среднего последовательности случайных величин X1, ИКС2, ………, ИКСn с функцией распределения F и ожидаемым значением каждого из них, поскольку μ равно

так что ожидание этого выборочного среднего будет

который показывает, что ожидаемое значение выборочного среднего также равно μ.

Неравенство Буля

                Буля неравенство можно получить с помощью свойств ожиданий, предположим, что случайная величина X определена как

в котором

здесьi 's являются случайными событиями, это означает, что случайная величина X представляет возникновение количества событий Ai и другая случайная величина Y как

явно

Х>=Г

Е[Х] >= Е[Г]

и так

теперь, если мы возьмем значение случайных величин X и Y, это ожидание будет

и

подставив эти ожидания в указанное выше неравенство, мы получим неравенство Буля как

Ожидание биномиальной случайной величины | Среднее значение биномиальной случайной величины

  Мы знаем, что биномиальная случайная величина - случайная величина, которая показывает количество успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха как p и неудачи как q = 1-p, поэтому, если

Х = Х1 + X2+ ……. + Xn

где

вот эти Xi это Бернулли и ожидание будет

поэтому ожидание X будет

Ожидание отрицательной биномиальной случайной величины | Среднее значение отрицательной биномиальной случайной величины

  Пусть случайная величина X, которая представляет количество испытаний, необходимых для сбора r успешных результатов, тогда такая случайная величина известна как отрицательная биномиальная случайная величина и может быть выражена как

здесь каждый Xi обозначают количество попыток, необходимое после (i-1) -го успеха, чтобы получить общее количество i успехов.

Поскольку каждый из этих Xi представляют геометрическую случайную величину, и мы знаем, что математическое ожидание для геометрической случайной величины равно

so

какой ожидание отрицательной биномиальной случайной величины.

Ожидание гипергеометрической случайной величины | Среднее значение гипергеометрической случайной величины

Математическое ожидание или среднее значение гипергеометрической случайной величины мы получим с помощью простого примера из реальной жизни, если на полке, содержащей N книг, случайным образом выбрано n книг, из которых m относятся к математике, а затем найти ожидаемое количество книги по математике пусть X обозначает количество выбранных книг по математике, тогда мы можем написать X как

в котором

so

=н/н

который дает

которое является средним значением такой гипергеометрической случайной величины.

Ожидаемое количество совпадений

   Это очень популярная задача, связанная с ожиданием. Предположим, что в комнате находится N человек, которые бросают свои шляпы посреди комнаты, и все шляпы перемешиваются, после чего каждый человек случайным образом выбирает одну шляпу, а затем ожидаемое количество людей. кто выбирает свою шляпу, мы можем получить, позволив X быть количеством совпадений, поэтому

где

поскольку у каждого человека есть равные возможности выбрать любую шляпу из N шляп, тогда

so

Это означает, что в среднем только один человек выбирает себе шляпу.

Вероятность объединения событий

     Получим вероятность объединения событий с помощью математического ожидания, так что для событий Ai

с этим мы берем

так что ожидание этого будет

и расширение с использованием свойства ожидания как

так как у нас есть

Математическое ожидание
Математическое ожидание: вероятность объединения событий

и

so

это означает вероятность объединения, поскольку

Границы ожидания с использованием вероятностного метода

    Предположим, что S - конечное множество, а f - функция на элементах S и

здесь мы можем получить нижнюю оценку для этого m, ожидая f (s), где «s» - любой случайный элемент S, ожидание которого мы можем вычислить так, чтобы

здесь мы получаем ожидание как нижнюю границу максимального значения

Максимум-минимум идентичности

 Максимум Минимальная идентичность - это максимум набора чисел до минимумов подмножеств этих чисел, который для любых чисел xi

Чтобы показать это, ограничим xi в интервале [0,1] предположим, что на интервале (0,1) имеется однородная случайная величина U и события Ai поскольку равномерная переменная U меньше xi то есть

поскольку по крайней мере одно из вышеперечисленных событий происходит, поскольку U меньше единицы значения xi

и

Ясно мы знаем

и все события произойдут, если U меньше всех переменных и

вероятность дает

мы имеем результат вероятности объединения как

следуя этой формуле исключения включения для вероятности

считать

это дает

с

что значит

  • следовательно, мы можем записать это как

ожидая, мы можем найти ожидаемые значения максимальных и частичных минимумов как

Вывод:

Ожидание с точки зрения различного распределения и соотношения ожидания с некоторыми теория вероятности концепции были в центре внимания этой статьи, которая показывает использование ожидания в качестве инструмента для получения ожидаемых значений различных типов случайных величин, если вам требуется дальнейшее чтение, прочитайте следующие книги.

Дополнительные статьи по математике см. В наших Страница математики.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH

Наверх