Двухмерная координатная геометрия: 2 важных фактов

Локус в 2D координатной геометрии

Локус - латинское слово. Оно образовано от слов «Место» или «Местоположение». Множественное число locus - это Loci.

Определение Locus:

В геометрии «Locus» - это набор точек, которые удовлетворяют одному или нескольким заданным условиям фигуры или формы. В современной математике место или путь, по которому точка движется на плоскости, удовлетворяющей заданным геометрическим условиям, называется геометрическим местом точки.

Локус определяется для линии, линейного сегмента и правильных или неправильных изогнутых форм, за исключением фигур, имеющих вершину или углы внутри них в геометрии. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Примеры на Locus:

линии, круги, эллипс, парабола, гипербола и т. д. - все эти геометрические формы определяются геометрическим местом точек.

Уравнение локуса:

Алгебраическая форма геометрических свойств или условий, которым удовлетворяют координаты всех точек на локусе, известна как уравнение геометрического места этих точек.

Метод получения уравнения годографа:

Чтобы найти уравнение геометрического места движущейся точки на плоскости, выполните процесс, описанный ниже.

(i) Сначала предположим, что координаты движущейся точки на плоскости равны (h, k).

(ii) Во-вторых, выведите алгебраическое уравнение с h и k из заданных геометрических условий или свойств.

(iii) В-третьих, замените h и k на x и y соответственно в указанном выше уравнении. Теперь это уравнение называется уравнением геометрического места движущейся точки на плоскости. (x, y) - текущие координаты движущейся точки, и уравнение геометрического места всегда должно выводиться в форме x и y, то есть текущие координаты.

Вот несколько примеров, чтобы прояснить концепцию локуса.

4+ разных типа решаемых задач на Locus:

1 задачи: If P - любая точка на плоскости XY, которая равноудалена от двух заданных точек. А (3,2) и В (2, -1) на той же плоскости, затем найдите геометрическое место и уравнение геометрического места точки P с графиком.

Решение: 

годограф
Графическое представление

Предположим, что координаты любой точки геометрического места P в плоскости XY (ч, к).

Поскольку P равноудалена от A и B, мы можем написать

Расстояние P от A = Расстояние P от B

Или |PA|=|PB|

Или, (h2 -6ч + 9 + к2 -4k + 4) = (h2 -4ч + 4 + к2 + 2k + 1) ——– с квадратом в обе стороны.

Или, ч2 -6ч + 13 + к2 -4к -ч2+ 4ч-5-к2 -2к = 0

Или -2h -6k + 8 = 0

Или, h + 3k -4 = 0

Или h + 3k = 4 ——– (1)

Это уравнение первой степени для h и k.

Теперь, если h и k заменены на x и y, тогда уравнение (1) становится уравнением первой степени для x и y в форме x + 3y = 4, что представляет собой прямую линию.

Следовательно, геометрическое место точки P (h, k) на плоскости XY является прямой линией, и уравнение геометрического места имеет вид x + 3y = 4. (Отв.)


2 задачи: Если точка R движется в плоскости XY таким образом, что RA: RB = 3: 2 где координаты точек A и B Он (-5,3) и (2,4) соответственно на той же плоскости, затем найдите геометрическое место точки R.

Какой тип кривой указывает уравнение геометрического места R?

Решение: Предположим, что координаты любой точки на геометрическом месте данной точки R на плоскости XY быть (м, п).

Аспер данное состояние RA: RB = 3: 2,

у нас есть,

(Расстояние R от A) / (Расстояние R от B) = 3/2

Или, (м2 + 10м + 34 + п2 -6n) / (м2 -4м + п2 -8n + 20) = 9/4 ———– с квадратом в обе стороны.

Или, 4 (м2 + 10м + 34 + п2 -6n) = 9 (м2 -4м + п2 -8n + 20)

Или, 4м2 + 40м + 136 + 4н2 -24н = 9м2 -36м + 9н2 -72n + 180)

Или, 4м2 + 40м + 136 + 4н2 -24н - 9м2 + 36м-9н2 + 72н-180 = 0

Или -5м2 + 76м-5н2+ 48н-44 = 0

Или, 5 (м2+n2) -76m + 48n + 44 = 0 ———- (1)

Это уравнение второй степени m и n.

Теперь, если m и n заменить на x и y, уравнение (1) станет уравнением второй степени для x и y в форме 5 (x2+y2) -76x + 48y + 44 = 0, где коэффициенты при x2 и y2 одинаковы, а коэффициент при xy равен нулю. Это уравнение представляет собой круг.

Следовательно, геометрическое место точки R (m, n) на плоскости XY является окружностью, а уравнение геометрического места имеет вид

5 (х2+y2) -76x + 48y + 44 = 0 (Отв.)


3 задачи: Для всех значений (θ,aCosθ,bSinθ) координаты точки P, которая движется на плоскости XY. Найдите уравнение геометрического места P.

Решение: пусть (h, k) будут координатами любой точки, лежащей в геометрическом месте P на плоскости XY.

Тогда, отвечая на вопрос, мы можем сказать

h= а Cosθ

Или h/a = Cosθ —————(1)

И k = b Sinθ

Или k/b = Sinθ —————(2)

Теперь возьмем квадрат обоих уравнений (1) и (2) и сложим, получим уравнение

h2/a2 + к2/b2 = Cos2θ + грех2θ

Или, ч2/a2 + к2/b2 = 1 (Поскольку Cos2θ + грех2θ = 1 в тригонометрии)

Следовательно, уравнение геометрического места точки P есть x2/a2 + у2/b2 = 1. (Отв.)


Проблема 4: Найти уравнение геометрического места точки Q, движущейся в плоскости XY, если координаты Q равны

где u — переменный параметр.

решение: Пусть координаты любой точки геометрического места данной точки Q при движении по плоскости XY равны (h, k).

Тогда h = и k =

т.е. h (3u + 2) = 7u-2 и k (u-1) = 4u + 5

т.е. (3h-7) u = -2h-2 и (k-4) u = 5 + k

т.е. u = ————— (1)

и u = ————— (2)

Приравнивая уравнения (1) и (2), получаем,

Или (-2h-2) (k-4) = (3h-7) (5 + k)

Или -2hk + 8h-2k + 8 = 15h + 3hk-35-7k

Или -2hk + 8h-2k-15h-3hk + 7k = -35-8

Или -5hk-7h + 5k = -43

Или 5hk + 7h-5k = 43

Следовательно, уравнение геометрического места Q равно 5xy + 7x-5y = 43.


Больше примеров на Locus с ответами для самостоятельной практики:

Проблемы 5: Если θ — переменная, а u — постоянная, то найдите уравнение геометрического места точки пересечения двух прямых x Cos θ + y Sin θ = u и x Sin θ - y Cos θ = u. (Ответ x2+y2 = 2u2 )

Проблемы 6: Найти уравнение геометрического места средней точки отрезка прямой x Sinθ + y Cosθ = t между осями. (Ответ 1 / x2+ 1 /y2 = 4 / т2 )

Проблемы 7: Если точка P движется в плоскости XY таким образом, что площадь треугольника составляет точка с двумя точками (2, -1) и (3,4). (Ответ 5x-y = 11)


Основные примеры формул «Центроид треугольника»  в 2D координатной геометрии

Центроид: Три медианы треугольника всегда пересекаются в точке, расположенной во внутренней области треугольника, и делит медианное значение в соотношении 2: 1 от любой вершины до середины противоположной стороны. Эта точка называется центром тяжести треугольника.   

Задачи 1: Найдите центр тяжести треугольника с вершинами (-1,0), (0,4) и (5,0).

Решение:  Мы уже знаем,

                                             If  А (х1,y1) B (x2,y2) и С (х3,y3) - вершины треугольника и G (х, у) быть центроидом треугольника, то Координаты G Он

и

Используя эту формулу, мы имеем 

(x1,y1) ≌ (-1,0) т.е. x1= -1, y1=0;

(x2,y2) ≌ (0,4) т.е.   x2= 0, y2= 4 и

(x3,y3) ≌ (5,0) т.е.   x3= 5, y3=0

(См. Таблицу формул)

Графическое представление

Итак, координата x центроида G,   

т.е.

т.е. х=4/3

                  и 

координата y центроида G,  

т.е.

т.е. у=4/3

Следовательно, координаты центра тяжести данного треугольника равны . (Ответ)

Дополнительные ответы на вопросы приведены ниже для дальнейшей практики с использованием процедуры, описанной в задаче 1 выше: -

Проблемы 2: Найдите координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках (-3, -1), (-1,3)) и (1,1).

Отв. (-1,1)

Проблемы 3: Какова координата x центроида треугольника с вершинами (5,2), (10,4) и (6, -1)?

Отв.

Проблемы 4: Три вершины треугольника - это (5,9), (2,15) и (11,12). Найдите центр тяжести этого треугольника.

Отв. (6,12)


Смещение происхождения / Трансляция осей - 2D координатная геометрия

Сдвиг исходной точки означает смещение исходной точки в новую точку с сохранением ориентации осей неизменной, т.е. новые оси остаются параллельными исходным осям в той же плоскости. Благодаря такому перемещению осей или перемещению начала координат многие задачи по алгебраическому уравнению геометрической формы упрощаются и легко решаются.

Формула «Смещения исходной точки» или «Смещения осей» описана ниже в графическом виде.

Формула:

Если O - начало координат, P (x, y) - любая точка в плоскости XY, а O сдвигается в другую точку O ′ (a, b), относительно которой координаты точки P становятся (x1,y1) в одной плоскости с новыми осями X1Y1  , Тогда новые координаты P равны

x1 = х- а

y1 = y- b

Графическое представление для пояснения: Следите за графиками

Немного решено Задачи по формуле «Смещения происхождения»:

Проблема-1: Если есть две точки (3,1) и (5,4) в одной плоскости и начало координат смещено в точку (3,1), сохраняя новые оси параллельными исходным осям, то найдите координаты точка (5,4) относительно нового начала координат и осей.

Решение: По сравнению с формулой «Сдвиг начала координат», описанной выше, у нас есть новое начало координат, O ′ (a, b) ≌ (3,1), то есть a = 3, b = 1 и требуемая точка P, (x, y) ≌ (5,4) т.е. x = 5, y = 4

Теперь, если (x1,y1) - новые координаты точки P (5,4), то по формуле x1 = xa и y1 = yb,

мы получаем, х1 = 5-3 и y1 = 4-1

т.е. х1 = 2 и y1 =3

Следовательно, требуемые новые координаты точки (5,4) равны (2,3). (Отв.)

Проблема-2: После смещения начала координат в точку в той же плоскости, оставив оси параллельными друг другу, координаты точки (5, -4) станут (4, -5). Найдите координаты новой исходной точки.

Решение: Здесь, используя формулу «Смещение начала координат» или «Смещение осей», мы можем сказать, что координаты точки P относительно старого и нового начала координат и осей соответственно равны (x, y) ≌ (5, -4), т.е. x = 5, y = -4 и (x1,y1) ≌ (4, -5) т.е.  x1= 4, у1= -5

Теперь нам нужно найти координаты нового Origin. O ′ (a, b) т.е. a = ?, b =?

Формула Аспера,

x1 = х- a

y1 = у- b

т.е. a= хх1 и b= yy1

Или, a=5-4 и b= -4 - (- 5)

Или, a=1 и b= -4 + 5

Или, a=1 и b= 1

Следовательно, O '(1,1) будет новым началом координат, т. Е. Координаты нового начала координат равны (1,1). (Отв.)

Основные примеры формул «Коллинеарность точек (трех точек)» в 2D координатной геометрии

Проблемы 1:  Проверьте, коллинеарны ли точки (1,0), (0,0) и (-1,0).

Решение:  Мы уже знаем,

                                            If  А (х1,y1) B (x2,y2) и С (х3,y3) быть любыми тремя коллинеарными точками, то площадь треугольника, образованного ими, должна быть равна нулю, т.е. площадь треугольника ½ [x1 (y2- у3) + х2 (y3- у1) + х3 (y1-y2)] =0

(См. Таблицу формул)

Используя эту формулу, мы имеем

(x1,y1) ≌ (-1,0) т.е.   x1= -1, y1= 0;

(x2,y2) ≌ (0,0) т.е.   x2= 0, y2= 0;

(x3,y3) ≌ (1,0) т.е.    x3= 1, y3= 0

Графическое представление

Итак, площадь треугольника = | ½ [x1 (y2  y3) + х2 (y3  y1) + х3 (y1-y2)] | т.е..

(LHS) = | ½ [-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)] |

= | ½ [(- 1) x0 + 0x0 + 1 × 0] |

= | ½ [0 + 0 + 0] |

= | ½ x 0 |

= 0 (правая сторона)

Следовательно, площадь треугольника, образованного этими точками, становится равной нулю, что означает, что они лежат на одной линии.

Следовательно, данные точки лежат на одной прямой. (Ответ)

Дополнительные ответы на вопросы приведены ниже для дальнейшей практики с использованием процедуры, описанной выше. проблема 1: -

Проблемы 2: Проверьте, являются ли точки (-1, -1), (0,0) и (1,1) коллинеарными или нет.

Отв. Да

Проблемы 3: Можно ли провести одну линию через три точки (-3,2), (5, -3) и (2,2)?

Отв.Нет

Проблемы 4: Проверьте, могут ли точки (1,2), (3,2) и (-5,2), соединенные линиями, образовывать треугольник в координатной плоскости.

Отв. Нет

______________________________

Основные примеры формул «Центр треугольника» в 2D координатной геометрии

В центре:Это центр самой большой вписанной окружности треугольника, которая вписывается в треугольник, а также точка пересечения трех биссектрис внутренних углов треугольника.

Проблемы 1: Вершины треугольника со сторонами равны (-2,0), (0,5) и (6,0) соответственно. Найдите центр треугольника.

Решение: Мы уже знаем,

If  А (х1,y1) B (x2,y2) и С (х3,y3) - вершины, BC = a, CA = b и AB = c, G ′ (х, у) быть центром треугольника,

Координаты ГРАММ' Он

и         

(См. Таблицу формул)

В соответствии с формулой, которая у нас есть,

(x1,y1) ≌ (-4,0) т.е.  x1= -4, y1=0;

(x2,y2) ≌ (0,3) т.е.  x2= 0, y2= 3;

(x3,y3) ≌ (0,0) т.е.   x3= 0, y3=0

Теперь у нас есть

a = √ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ]

Или a = √ [(0 + 4)2+ (3-0)2 ]

Или a = √ [(4)2+ (3)2 ]

Или a = √ (16 + 9)

Или a = √25

Или, а = 5 —————— (1)

b = √ [(x1-x3)2+ (y1-y3)2 ]

Или, b = √ [(-4-0)2+ (0-0)2 ]

Или b = √ [(-4)2+ (0)2 ]

Или b = √ (16 + 0)

Или, b = √16

Или, b = 4 ——————– (2)

c = √ [(x3-x2)2+ (y3-y2)2 ]

Или c = √ [(0-0)2+ (0-3)2 ]

Или c = √ [(0)2+ (- 3)2 ]

Или c = √ (0 + 9)

Или c = √9

Или, c = 3 ——————– (3)

иx1+ bx2 + сх3 = (5 Х (-4)) + (4 Х 0) + (3 Х 6)

= -20 + 0 + 18

Или, ax1+ bx2 + сх3 = -2 ——————- (4)

ay1+ by2+ су3 = (5 Х 0) + (4 Х 3) + (3 Х 0)

= 0 + 12 + 0

Или, ay1+ по2+ су3 = 12 ——————– (5)

а + б + с = 5 + 4 + 3

Или, a + b + c = 12 —————— (6)

Используя приведенные выше уравнения (1), (2), (3), (4), (5) и (6) мы можем рассчитать стоимость x и y от

Или, x = -2/12

Или, x = -1/6

и

Или y = 12/12

Или y = 1

Следовательно, требуемые координаты центра данного треугольника равны (-1/6, 1). (Отв.)

Дополнительные ответы на вопросы приведены ниже для дальнейшей практики с использованием процедуры, описанной в задаче 1 выше: -

Проблемы 2: Найдите координаты центра треугольника с вершинами в точках (-3, -1), (-1,3)) и (1,1).

Проблемы 3: Какова координата x центра треугольника с вершинами (0,2), (0,0) и (0, -1)?

Проблемы 4: Три вершины треугольника - это (1,1), (2,2) и (3,3). Найдите центр этого треугольника.


Наверх