Совместно распределенные случайные величины: 11 важных фактов

Содержание

Совместно распределенные случайные величины

     Совместно распределенные случайные величины представляют собой более чем одну случайную величину с вероятностью, совместно распределенной для этих случайных величин, другими словами, в экспериментах, где разные результаты с их общей вероятностью известны как совместно распределенная случайная величина или совместное распределение, такой тип ситуации имеет место. часто имея дело с проблемами шансов.

Совместная функция распределения | Совместная кумулятивная функция распределения вероятностей | совместная функция масс вероятностей | совместная функция плотности вероятности

    Для случайных величин X и Y функция распределения или совместная кумулятивная функция распределения имеет вид

где характер совместной вероятности зависит от природы случайных величин X и Y, дискретных или непрерывных, а отдельные функции распределения для X и Y могут быть получены с использованием этой совместной кумулятивной функции распределения как

аналогично для Y как

эти индивидуальные функции распределения X и Y известны как функции предельного распределения, когда рассматривается совместное распределение. Эти распределения очень полезны для получения вероятностей вроде

и, кроме того, совместная функция массы вероятности для случайных величин X и Y определяется как

индивидуальные функции массы или плотности вероятности для X и Y могут быть получены с помощью такой совместной функции массы или плотности вероятности, как в терминах дискретные случайные величины as

а в терминах непрерывной случайной величины совместная функция плотности вероятности будет

где C - любая двумерная плоскость, а совместная функция распределения для непрерывной случайной величины будет

функция плотности вероятности из этой функции распределения может быть получена путем дифференцирования

и предельная вероятность из совместной функции плотности вероятности

as

и

относительно случайных величин X и Y соответственно

Примеры совместного распространения

  1. Совместные вероятности для случайных величин X и Y, представляющие количество книг по математике и статистике из набора книг, который содержит 3 книги по математике, 4 статистики и 5 книг по физике, если 3 книги взяты случайным образом
  • Найдите сустав функция вероятности для выборки семей, в которых 15% детей нет, 20% 1 ребенок, 35% 2 ребенка и 30% 3 ребенка, если семья, которую мы случайным образом выбираем из этой выборки для ребенка, будет мальчиком или девочкой?

Совместную вероятность мы найдем, используя определение как

Совместно распределенные случайные величины
Совместно распределенные случайные величины: пример

и это мы можем проиллюстрировать в табличной форме следующим образом

Совместно распределенные случайные величины
Совместно распределенные случайные величины: пример совместного распределения
  • Рассчитайте вероятности

если для случайных величин X и Y совместная функция плотности вероятности определяется выражением

с помощью определения совместной вероятности для непрерывной случайной величины

и для данной совместной функции плотности первая вероятность для данного диапазона будет

аналогично вероятность

и, наконец,

  • Найдите совместную функцию плотности для отношения X / Y случайных величин X и Y, если их совместная функция плотности вероятности равна

Чтобы найти функцию плотности вероятности для функции X / Y, мы сначала находим совместную функцию распределения, а затем продифференцируем полученный результат:

поэтому по определению совместной функции распределения и заданной функции плотности вероятности мы имеем

таким образом, дифференцируя эту функцию распределения по a, мы получим функцию плотности как

где а находится в пределах от нуля до бесконечности.

Независимые случайные величины и совместное распределение

     В разделе совместное распространение вероятность для двух случайных величин X и Y называется независимой, если

где A и B - действительные множества. Как уже говорилось о событиях, мы знаем, что независимые случайные величины - это случайные величины, события которых независимы.

Таким образом, для любых значений a и b

а совместное распределение или кумулятивная функция распределения для независимых случайных величин X и Y будет

если рассматривать дискретные случайные величины X и Y, то

с

аналогично для непрерывной случайной величины также

Пример независимого совместного распределения

  1. Если в течение определенного дня в больнице введенные пациенты имеют распределение Пуассона с параметром λ и вероятностью пациента-мужчины как p и вероятностью пациента-женщины как (1-p), то покажите, что количество пациентов-мужчин и пациентов-женщин, поступивших в больницу являются независимыми пуассоновскими случайными величинами с параметрами λp и λ (1-p)?

рассмотрите количество пациентов мужского и женского пола по случайным величинам X и Y, затем

поскольку X + Y - общее количество пациентов, поступивших в больницу, распределенных по Пуассону, так что

так как вероятность пациента мужского пола равна p, а пациента женского пола - (1-p), поэтому именно из общего числа исправлений мужчина или женщина показывает биномиальную вероятность как

используя эти два значения, мы получим указанную выше совместную вероятность как

таким образом вероятность пациентов мужского и женского пола будет

и

который показывает, что обе они являются случайными величинами Пуассона с параметрами λp и λ (1-p).

2. Найдите вероятность того, что человеку придется ждать более десяти минут на встрече с клиентом, как если бы каждый клиент и этот человек приходили между 12 и 1 часами после равномерного распределения.

Рассмотрим случайные переменные X и Y, чтобы обозначить время для этого человека и клиента от 12 до 1, так что общая вероятность для X и Y будет

вычислять

где X, Y и Z - однородные случайные величины на интервале (0,1).

здесь вероятность будет

для равномерного распределения функция плотности

для данного диапазона так

СУММЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ СОВМЕСТНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

  Сумма независимых переменных X и Y с функциями плотности вероятности как непрерывные случайные величины, кумулятивная функция распределения будет

дифференцируя эту кумулятивную функцию распределения для функции плотности вероятности этих независимых сумм,

следуя этим двум результатам, мы увидим некоторые непрерывные случайные величины и их сумму как независимые переменные.

сумма независимых равномерных случайных величин

   для случайные переменные X и Y равномерно распределены по интервалу (0,1), функция плотности вероятности для обеих этих независимых переменных имеет вид

поэтому для суммы X + Y имеем

для любого значения а лежит между нулем и единицей

если мы ограничим a между одним и двумя, это будет

это дает функцию плотности треугольной формы

если мы обобщим для n независимых однородных случайных величин от 1 до n, то их функция распределения

по математической индукции будет

сумма независимых гамма-случайных величин

    Если у нас есть две независимые гамма-случайные величины с их обычной функцией плотности

затем следуя плотности суммы независимых гамма-случайных величин

это показывает функцию плотности для суммы гамма-случайных величин, которые являются независимыми

сумма независимых экспоненциальных случайных величин

    Аналогично гамма-случайной величине, сумме независимых экспоненциальных случайных величин, мы можем получить функцию плотности и функцию распределения, просто специально назначая значения гамма-случайных величин.

Сумма независимой нормальной случайной величины | сумма независимого нормального распределения

                Если у нас есть n независимых нормальных случайных величин Xi , i=1,2,3,4….n с соответствующими средними µi и дисперсии σ2i, то их сумма также является нормальной случайной величиной со средним значением Σµi и дисперсиями Σσ2i

    Сначала мы покажем нормально распределенную независимую сумму для двух нормальных случайных величин X с параметрами 0 и σ2 и Y с параметрами 0 и 1, найдем функцию плотности вероятности для суммы X + Y с

в совместной функции плотности распределения

с помощью определения функции плотности нормального распределения

таким образом, функция плотности будет

которая есть не что иное, как функция плотности нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией (1 + σ2), следуя тому же аргументу, мы можем сказать

с обычным средним и дисперсиями. Если мы возьмем расширение и увидим, что сумма обычно распределяется со средним значением как суммой соответствующих средних и дисперсией как суммой соответствующих дисперсий,

таким же образом n-я сумма будет нормально распределенной случайной величиной со средним значением Σμi  и дисперсии Σσ2i

Суммы независимых пуассоновских случайных величин

Если у нас есть две независимые пуассоновские случайные величины X и Y с параметрами λ1 и λ2 тогда их сумма X + Y также является пуассоновской случайной величиной или распределенной Пуассоном.

поскольку X и Y распределены Пуассона, и мы можем записать их сумму как объединение непересекающихся событий, так что

с использованием вероятности независимых случайных величин

Таким образом, мы получаем, что сумма X + Y также распределена по Пуассону со средним λ1 + λ2

Суммы независимых биномиальных случайных величин

                Если у нас есть две независимые биномиальные случайные величины X и Y с параметрами (n, p) и (m, p), то их сумма X + Y также является биномиальной случайной величиной или биномиально распределенной с параметром (n + m, p)

позвольте использовать вероятность суммы с определением бинома как

который дает

поэтому сумма X + Y также биномиально распределена с параметром (n + m, p).

Вывод:

Концепция совместно распределенных случайных величин, которая дает распределение сравнительно для более чем одной переменной в ситуации, обсуждается дополнительно, основная концепция независимой случайной величины с помощью совместного распределения и суммы независимых переменных с некоторым примером распределения дается с помощью их параметры, если вам требуется дополнительное чтение, просмотрите упомянутые книги. Чтобы узнать больше о математике, пожалуйста, НАЖМИТЕ ЗДЕСЬ

https://en.wikipedia.org

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH

Наверх