Обратное гамма-распределение: 21 важный факт

Обратное гамма-распределение и моментная производящая функция гамма-распределения

      Продолжая рассмотрение гамма-распределения, мы познакомимся с концепцией обратного гамма-распределения и производящей функцией момента, измерением среднего значения центральных тенденций, моды и медианы гамма-распределения, следуя некоторым основным свойствам гамма-распределения.

свойства гамма-распределения

Некоторые из важные свойства гамма-распределения зачисляются следующим образом

Функция плотности вероятности для гамма-распределения имеет вид

or

где гамма-функция

2. Кумулятивная функция распределения для гамма-распределения имеет вид

где f (x) - функция плотности вероятности, как указано выше, в частности, cdf -

и

соответственно или

E [X] = α * β

и

  • Производящая функция момента M (t) для гамма-распределения имеет вид

or

  • Кривая для pdf и cdf
Обратное гамма-распределение
  • Обратное гамма-распределение можно определить, взяв обратную функцию плотности вероятности гамма-распределения как
  • Сумма независимого гамма-распределения снова является гамма-распределением с суммой параметров.

обратное гамма-распределение | нормальное обратное гамма-распределение

                Если в гамма-распределении в функции плотности вероятности

or

мы возьмем переменную, обратную или обратную, тогда функция плотности вероятности будет

Таким образом, случайная величина с этой функцией плотности вероятности, как известно, является обратной гамма-случайной величиной, или обратным гамма-распределением, или инвертированным гамма-распределением.

Вышеупомянутая функция плотности вероятности в любом параметре, которую мы можем принять в форме лямбда или тета, функция плотности вероятности, которая является обратной величиной гамма-распределения, является функцией плотности вероятности обратного гамма-распределения.

Кумулятивная функция распределения или cdf обратного гамма-распределения

                Кумулятивная функция распределения для обратного гамма-распределения - это функция распределения

в котором f (x) является функцией плотности вероятности обратного гамма-распределения как

Среднее и дисперсия обратного гамма-распределения

  Среднее значение и дисперсия обратного гамма-распределения, следуя обычному определению математического ожидания и дисперсии, будут

и

Среднее и дисперсия доказательства обратного гамма-распределения

        Чтобы получить среднее значение и дисперсию обратного гамма-распределения с помощью функции плотности вероятности

и определение ожиданий, мы сначала находим математическое ожидание для любой степени x как

в приведенном выше интеграле мы использовали функцию плотности как

теперь для значения α больше единицы и n как единицы

аналогично значение для n = 2 для альфа больше 2

использование этих ожиданий даст нам значение дисперсии как

График гамма-распределения инверса | График обратного гамма-распределения

                Обратное гамма-распределение является обратной величиной гамма-распределения, поэтому при наблюдении за гамма-распределением хорошо наблюдать характер кривых обратного гамма-распределения, имеющих функцию плотности вероятности как

и кумулятивная функция распределения, следуя

Обратное гамма-распределение
График обратного гамма-распределения

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивная функция распределения путем фиксирования значения α равным 1 и изменения значения β.

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения α равным 2 и изменения значения β.

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения α равным 3 и изменения значения β.

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения β равным 1 и изменения значения α.

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения β равным 2 и изменения значения α.

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения β равным 3 и изменения значения α.

моментная производящая функция гамма-распределения

Прежде чем понимать концепцию производящей функции момента для гамма-распределения, позвольте нам вспомнить некоторую концепцию производящей функции момента

Моменты

    Момент случайная переменная определяется с помощью ожидания как

это известно как r-й момент случайной величины X, это момент начала координат и обычно известен как исходный момент.

     Если мы возьмем r-й момент случайной величины около среднего μ как

этот момент относительно среднего известен как центральный момент, и ожидание будет в соответствии с природой случайной величины как

в центральный момент, если мы положим значения r, то мы получим некоторые начальные моменты как

Если мы возьмем биномиальное расширение по центральным моментам, то мы легко сможем получить соотношение между центральными и исходными моментами как

некоторые из начальных отношений следующие

Функция генерирования момента

   Моменты, которые мы можем создать с помощью функции, которая известна как функция, производящая моменты, и определяется как

эта функция генерирует моменты с помощью разложения экспоненциальной функции в любой из форм

используя форму Тейлора как

дифференцирование этой расширенной функции по t дает различные моменты как

по-другому, если мы возьмем производную непосредственно как

поскольку для обоих дискретных

и непрерывно мы имеем

поэтому для t = 0 мы получим

также

as

и вообще

есть два важных соотношения для производящих функций момента

моментная производящая функция гамма-распределения | МГФ гамма-распределения | моментная производящая функция для гамма-распределения

Теперь о гамме распределение производящей функции момента M(t) для pdf

is

и для pdf

функция, производящая момент

доказательство производящей функции момента гамма-распределения | МГФ доказательства гамма-распределения

    Теперь сначала примите форму функции плотности вероятности как

и, используя определение производящей функции момента M (t), имеем

мы можем найти среднее значение и дисперсию гамма-распределения с помощью производящей функции момента, так как дифференцируя по t дважды эту функцию, мы получим

если мы положим t = 0, то первое значение будет

и

Теперь поместим ценность этих ожиданий в

поочередно для pdf формы

функция, производящая момент, будет

и дифференцирование и установка t = 0 даст среднее значение и дисперсию следующим образом

2-й момент гамма-распределения

   Второй момент гамма-распределения, дважды дифференцируя производящую функцию момента и помещая значение t = 0 во вторую производную этой функции, мы получим

третий момент гамма-распределения

                Третий момент гамма-распределения мы можем найти, трижды дифференцируя производящую функцию момента и подставляя значение t = 0 в третью производную MGF, мы получим

или напрямую путем интеграции как

 сигма для гамма-распределения

   сигма или стандартное отклонение гамма-распределения, которое мы можем найти, взяв квадратный корень из дисперсии гамма-распределения типа

or

для любого заданного значения альфа, бета и лямбда.

характеристическая функция гамма-распределения | характеристическая функция гамма-распределения

      Если переменная t в производящей функции момента является чисто мнимым числом как t = iω, тогда функция известна как характеристическая функция гамма-распределения, обозначаемая и выражаемая как

как и для любой случайной величины характеристическая функция будет

Таким образом, для гамма-распределения характеристическая функция, следуя pdf гамма-распределения, имеет вид

после

Есть и другой вид этой характеристической функции, если

становятся

сумма гамма-распределений | сумма экспоненциального распределения гамма

  Чтобы узнать результат суммы гамма-распределения, мы должны прежде всего понять сумму независимых случайных величин для непрерывной случайной величины, для этого у нас есть функции плотности вероятности для непрерывных случайных величин X и Y, а затем кумулятивная функция распределения для суммы случайных величин будет

дифференцирование этой свертки интеграла для функций плотности вероятности X и Y даст функцию плотности вероятности для суммы случайных величин как

Теперь давайте докажем, что если X и Y являются гамма-случайными величинами с соответствующими функциями плотности, тогда сумма также будет гамма-распределением с суммой тех же параметров.

с учетом функции плотности вероятности вида

для случайной величины X возьмите альфа как s, а для случайной величины Y возьмите альфа как t, поэтому, используя плотность вероятности для суммы случайных величин, мы имеем

здесь C не зависит от a, теперь значение будет

которые представляют функцию плотности вероятности суммы X и Y и которая имеет гамма-распределение, следовательно, сумма гамма-распределения также представляет собой гамма-распределение по соответствующей сумме параметров.

режим гамма-распределения

    Чтобы найти режим гамма-распределения, рассмотрим функцию плотности вероятности как

Теперь дифференцируем этот PDF-файл по x, мы получим дифференцирование как

это будет ноль при x = 0 или x = (α -1) / λ

так это только критические точки при котором наша первая производная будет равна нулю, если альфа больше или равна нулю, тогда x = 0 не будет модой, потому что это делает PDF равной нулю, поэтому мода будет (α -1) / λ

и для альфа строго меньше единицы производная уменьшается от бесконечности до нуля, когда x увеличивается от нуля до бесконечности, поэтому это невозможно, поэтому режим гамма-распределения

медиана гамма-распределения

Медиана гамма-распределения может быть найдена с помощью обратного гамма-распределения как

or

при условии

который дает

форма гамма-распределения

     Гамма-распределение принимает различную форму в зависимости от параметра формы, когда параметром формы является одно гамма-распределение, равное экспоненциальному распределению, но когда мы изменяем параметр формы, асимметрия кривой гамма-распределения уменьшается по мере увеличения параметра формы, другими словами форма кривой гамма-распределения изменяется по стандартному отклонению.

асимметрия гамма-распределения

    асимметрию любого распределения можно наблюдать, наблюдая функцию плотности вероятности этого распределения и коэффициент асимметрии

для гамма-распределения имеем

so

это показывает, что асимметрия зависит от альфа, только если альфа увеличивается до бесконечности, кривая будет более симметричной и резкой, а когда альфа стремится к нулю, кривая плотности гамма-распределения имеет положительный перекос, что можно наблюдать на графиках плотности.

обобщенное гамма-распределение | параметр формы и масштаба в гамма-распределении | трехпараметрическое гамма-распределение | многомерное гамма-распределение

где γ, μ и β - параметры формы, местоположения и масштаба соответственно, присвоив этим параметрам конкретные значения, мы можем получить двухпараметрическое гамма-распределение, в частности, если мы положим μ = 0, β = 1, тогда мы получим стандартное гамма-распределение как

Используя эту трехпараметрическую функцию плотности вероятности гамма-распределения, мы можем найти математическое ожидание и дисперсию, следуя соответственно определению.

Вывод:

Понятие обратной величины гамма-распределения, т. Е. обратное гамма-распределение в сравнении с гамма-распределением и измерением центральных тенденций гамма-распределения с помощью функции генерации моментов, в центре внимания этой статьи, если вам требуется дальнейшее чтение, просмотрите предлагаемые книги и ссылки. Чтобы узнать больше о математике, посетите наш страница математики.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH

Наверх