Обратное гамма-распределение и моментная производящая функция гамма-распределения
Продолжая рассмотрение гамма-распределения, мы познакомимся с концепцией обратного гамма-распределения и производящей функцией момента, измерением среднего значения центральных тенденций, моды и медианы гамма-распределения, следуя некоторым основным свойствам гамма-распределения.
свойства гамма-распределения
Некоторые из важные свойства гамма-распределения зачисляются следующим образом
Функция плотности вероятности для гамма-распределения имеет вид
or
где гамма-функция
2. Кумулятивная функция распределения для гамма-распределения имеет вид
где f (x) - функция плотности вероятности, как указано выше, в частности, cdf -
- Компания среднее значение и дисперсия гамма-распределения is
и
соответственно или
E [X] = α * β
и
- Производящая функция момента M (t) для гамма-распределения имеет вид
or
- Кривая для pdf и cdf

- Обратное гамма-распределение можно определить, взяв обратную функцию плотности вероятности гамма-распределения как
- Сумма независимого гамма-распределения снова является гамма-распределением с суммой параметров.
обратное гамма-распределение | нормальное обратное гамма-распределение
Если в гамма-распределении в функции плотности вероятности
or
мы возьмем переменную, обратную или обратную, тогда функция плотности вероятности будет
Таким образом, случайная величина с этой функцией плотности вероятности, как известно, является обратной гамма-случайной величиной, или обратным гамма-распределением, или инвертированным гамма-распределением.
Вышеупомянутая функция плотности вероятности в любом параметре, которую мы можем принять в форме лямбда или тета, функция плотности вероятности, которая является обратной величиной гамма-распределения, является функцией плотности вероятности обратного гамма-распределения.
Кумулятивная функция распределения или cdf обратного гамма-распределения
Кумулятивная функция распределения для обратного гамма-распределения - это функция распределения
в котором f (x) является функцией плотности вероятности обратного гамма-распределения как
Среднее и дисперсия обратного гамма-распределения
Среднее значение и дисперсия обратного гамма-распределения, следуя обычному определению математического ожидания и дисперсии, будут
и
Среднее и дисперсия доказательства обратного гамма-распределения
Чтобы получить среднее значение и дисперсию обратного гамма-распределения с помощью функции плотности вероятности
и определение ожиданий, мы сначала находим математическое ожидание для любой степени x как
в приведенном выше интеграле мы использовали функцию плотности как
теперь для значения α больше единицы и n как единицы
аналогично значение для n = 2 для альфа больше 2
использование этих ожиданий даст нам значение дисперсии как
График гамма-распределения инверса | График обратного гамма-распределения
Обратное гамма-распределение является обратной величиной гамма-распределения, поэтому при наблюдении за гамма-распределением хорошо наблюдать характер кривых обратного гамма-распределения, имеющих функцию плотности вероятности как
и кумулятивная функция распределения, следуя

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивная функция распределения путем фиксирования значения α равным 1 и изменения значения β.
Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения α равным 2 и изменения значения β.
Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения α равным 3 и изменения значения β.
Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения β равным 1 и изменения значения α.
Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения β равным 2 и изменения значения α.
Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения β равным 3 и изменения значения α.
моментная производящая функция гамма-распределения
Прежде чем понимать концепцию производящей функции момента для гамма-распределения, позвольте нам вспомнить некоторую концепцию производящей функции момента
Моменты
Момент случайная переменная определяется с помощью ожидания как
это известно как r-й момент случайной величины X, это момент начала координат и обычно известен как исходный момент.
Если мы возьмем r-й момент случайной величины около среднего μ как
этот момент относительно среднего известен как центральный момент, и ожидание будет в соответствии с природой случайной величины как
в центральный момент, если мы положим значения r, то мы получим некоторые начальные моменты как
Если мы возьмем биномиальное расширение по центральным моментам, то мы легко сможем получить соотношение между центральными и исходными моментами как
некоторые из начальных отношений следующие
Функция генерирования момента
Моменты, которые мы можем создать с помощью функции, которая известна как функция, производящая моменты, и определяется как
эта функция генерирует моменты с помощью разложения экспоненциальной функции в любой из форм
используя форму Тейлора как
дифференцирование этой расширенной функции по t дает различные моменты как
по-другому, если мы возьмем производную непосредственно как
поскольку для обоих дискретных
и непрерывно мы имеем
поэтому для t = 0 мы получим
также
as
и вообще
есть два важных соотношения для производящих функций момента
моментная производящая функция гамма-распределения | МГФ гамма-распределения | моментная производящая функция для гамма-распределения
Теперь о гамме распределение производящей функции момента M(t) для pdf
is
и для pdf
функция, производящая момент
доказательство производящей функции момента гамма-распределения | МГФ доказательства гамма-распределения
Теперь сначала примите форму функции плотности вероятности как
и, используя определение производящей функции момента M (t), имеем
мы можем найти среднее значение и дисперсию гамма-распределения с помощью производящей функции момента, так как дифференцируя по t дважды эту функцию, мы получим
если мы положим t = 0, то первое значение будет
и
Теперь поместим ценность этих ожиданий в
поочередно для pdf формы
функция, производящая момент, будет
и дифференцирование и установка t = 0 даст среднее значение и дисперсию следующим образом
2-й момент гамма-распределения
Второй момент гамма-распределения, дважды дифференцируя производящую функцию момента и помещая значение t = 0 во вторую производную этой функции, мы получим
третий момент гамма-распределения
Третий момент гамма-распределения мы можем найти, трижды дифференцируя производящую функцию момента и подставляя значение t = 0 в третью производную MGF, мы получим
или напрямую путем интеграции как
сигма для гамма-распределения
сигма или стандартное отклонение гамма-распределения, которое мы можем найти, взяв квадратный корень из дисперсии гамма-распределения типа
or
для любого заданного значения альфа, бета и лямбда.
характеристическая функция гамма-распределения | характеристическая функция гамма-распределения
Если переменная t в производящей функции момента является чисто мнимым числом как t = iω, тогда функция известна как характеристическая функция гамма-распределения, обозначаемая и выражаемая как
как и для любой случайной величины характеристическая функция будет
Таким образом, для гамма-распределения характеристическая функция, следуя pdf гамма-распределения, имеет вид
после
Есть и другой вид этой характеристической функции, если
становятся
сумма гамма-распределений | сумма экспоненциального распределения гамма
Чтобы узнать результат суммы гамма-распределения, мы должны прежде всего понять сумму независимых случайных величин для непрерывной случайной величины, для этого у нас есть функции плотности вероятности для непрерывных случайных величин X и Y, а затем кумулятивная функция распределения для суммы случайных величин будет
дифференцирование этой свертки интеграла для функций плотности вероятности X и Y даст функцию плотности вероятности для суммы случайных величин как
Теперь давайте докажем, что если X и Y являются гамма-случайными величинами с соответствующими функциями плотности, тогда сумма также будет гамма-распределением с суммой тех же параметров.
с учетом функции плотности вероятности вида
для случайной величины X возьмите альфа как s, а для случайной величины Y возьмите альфа как t, поэтому, используя плотность вероятности для суммы случайных величин, мы имеем
здесь C не зависит от a, теперь значение будет
которые представляют функцию плотности вероятности суммы X и Y и которая имеет гамма-распределение, следовательно, сумма гамма-распределения также представляет собой гамма-распределение по соответствующей сумме параметров.
режим гамма-распределения
Чтобы найти режим гамма-распределения, рассмотрим функцию плотности вероятности как
Теперь дифференцируем этот PDF-файл по x, мы получим дифференцирование как
это будет ноль при x = 0 или x = (α -1) / λ
так это только критические точки при котором наша первая производная будет равна нулю, если альфа больше или равна нулю, тогда x = 0 не будет модой, потому что это делает PDF равной нулю, поэтому мода будет (α -1) / λ
и для альфа строго меньше единицы производная уменьшается от бесконечности до нуля, когда x увеличивается от нуля до бесконечности, поэтому это невозможно, поэтому режим гамма-распределения
медиана гамма-распределения
Медиана гамма-распределения может быть найдена с помощью обратного гамма-распределения как
or
при условии
который дает
форма гамма-распределения
Гамма-распределение принимает различную форму в зависимости от параметра формы, когда параметром формы является одно гамма-распределение, равное экспоненциальному распределению, но когда мы изменяем параметр формы, асимметрия кривой гамма-распределения уменьшается по мере увеличения параметра формы, другими словами форма кривой гамма-распределения изменяется по стандартному отклонению.
асимметрия гамма-распределения
асимметрию любого распределения можно наблюдать, наблюдая функцию плотности вероятности этого распределения и коэффициент асимметрии
для гамма-распределения имеем
so
это показывает, что асимметрия зависит от альфа, только если альфа увеличивается до бесконечности, кривая будет более симметричной и резкой, а когда альфа стремится к нулю, кривая плотности гамма-распределения имеет положительный перекос, что можно наблюдать на графиках плотности.
обобщенное гамма-распределение | параметр формы и масштаба в гамма-распределении | трехпараметрическое гамма-распределение | многомерное гамма-распределение
где γ, μ и β - параметры формы, местоположения и масштаба соответственно, присвоив этим параметрам конкретные значения, мы можем получить двухпараметрическое гамма-распределение, в частности, если мы положим μ = 0, β = 1, тогда мы получим стандартное гамма-распределение как
Используя эту трехпараметрическую функцию плотности вероятности гамма-распределения, мы можем найти математическое ожидание и дисперсию, следуя соответственно определению.
Вывод:
Понятие обратной величины гамма-распределения, т. Е. обратное гамма-распределение в сравнении с гамма-распределением и измерением центральных тенденций гамма-распределения с помощью функции генерации моментов, в центре внимания этой статьи, если вам требуется дальнейшее чтение, просмотрите предлагаемые книги и ссылки. Чтобы узнать больше о математике, посетите наш страница математики.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Первый курс вероятности Шелдона Росс
Очерки вероятности и статистики Шаума
Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH