ВВЕДЕНИЕ
Что такое математика? Это расчет? Это логика? Это символы? Фотографий? Графики? Оказывается, все это и многое другое. ЭТО НО ЯЗЫК. Универсальный язык, имеющий свои символы, символы, выражения, словарный запас, грамматику - все, что делает язык, - все это прекрасно аргументировано, уникально и однозначно по своему значению. Это язык, на котором написаны законы Вселенной. Следовательно, это язык, который мы должны выучить и исследовать, чтобы разгадать тайны природы. С этой философии мы должны начать обсуждение одной из самых прекрасных и фундаментальных тем математики, ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ.
ЧТО ТАКОЕ ВЫРАЖЕНИЯ, УРАВНЕНИЯ И ИДЕНТИЧНОСТИ?
Как и все четко определенные языки, математика имеет собственный набор символов и знаков, числовых и алфавитных. Выражение в математике - это комбинация таких символов и знаков. Все это будет объяснено в этом теория функций обсуждение.
5 + 2 / (9-3)
7a + 2b-3c
2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β)
Все это математические выражения. Независимо от того, могут ли они быть оценены или нет, если они значимы и соответствуют ли они правильному синтаксису, они являются выражениями.
Теперь, когда мы сравниваем два выражения со знаком «=», мы получаем что-то вроде…
(1 + х)2 = 1+2х+х2
Это выражение для равенства двух выражений, написанных по обе стороны от знака =. Обратите внимание, что это равенство верно для всех значений x. Подобные равенства называются ИДЕНТИЧНОСТЬЮ.
(1 + х)2 = 2+3х+2х2………… .. (1)
Или как
(1 + х)2 = 7-3х+2х2………… (2)
Тогда они не будут верны для всех значений x, скорее они будут верны для некоторых значений x, таких как (2), или они будут верны для NO значений x, например (1). Они называются УРАВНЕНИЯМИ.
Итак, чтобы подвести итог, равенства, которые имеют для всех значений переменных, являются ИДЕНТИФИКАЦИЯМИ. И равенства, которые выполняются для некоторых значений переменных или без них, являются УРАВНЕНИЯМИ.
ЗАЧЕМ НАМ НУЖНА КОНЦЕПЦИЯ ФУНКЦИИ?
Разве не удивительно, что Вселенная настолько идеально сбалансирована? Система такого огромного размера, состоящая из множества меньших систем, каждая из которых имеет так много переменных, взаимодействующих друг с другом, но при этом так хорошо себя ведет. Разве не кажется, что все регулируется набором правил, невидимых, но существующих повсюду? Возьмем, к примеру, силу тяжести. Оно обратно пропорционально расстоянию между телами, и этому правилу следуют все материи повсюду во Вселенной. Итак, у нас должен быть способ выразить такие правила, например, связи между переменными.
Нас окружают такие переменные, которые зависят от других переменных. Длина тени здания зависит от его высоты и времени суток. Расстояние, пройденное автомобилем, зависит от крутящего момента, создаваемого его двигателем. Именно концепция теории функций позволяет нам математически выразить такие отношения.
ТАК ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ МАТЕМАТИКИ?
Функция Правило или ФУНКЦИЯ как правило
Проще говоря, функция - это правило, связывающее две или более переменных. Если переменным разрешено принимать только действительные значения, то это просто выражение, определяющее правило или набор правил, которые присваивают действительное число каждому из определенных действительных чисел.
Это определение, безусловно, требует некоторого пояснения, которое дается с помощью таких примеров, как
1. Правило, которое присваивает куб этого числа каждому числу.
f (х) = х3
2. Правило, присваивающее (x2-х-1)/х3 каждому х
е (х) = (х2-х-1)/х3
3. Правило, назначающее (x2–x-1)/(x2+ x + 1) ко всем x, которые не равны 1 и числу от 0 до 1
f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) для x ≠ 1
= 0 для x = 1
- f (х) = х2
для -1 <x <π / 3
- Правило, назначающее
2 к номеру 5
3 к номеру 8/3
π / 2 к числу 1
и остальным
- Правило, которое присваивает числу x количество единиц в его десятичном разложении, если счетчик конечен, и 1, если в разложении бесконечно много единиц.
Эти примеры должны прояснить одну вещь: функция — это любое правило, которое присваивает числа конкретным другим числам. Эти правила не всегда могут быть выражены алгебраической формулировкой. Они могут даже не указывать на одно уникальное условие, применимое ко всем числам. И это не обязательно должно быть правило, которое можно найти на практике или в реальном мире, как правило 6. Никто не может сказать, какое число это правило присваивает числу π или √2. Правило также может не применяться к некоторым номерам. Например, правило 2 не применяется к x=0. Набор чисел, к которому применяется правило, называется ДОМЕНОМ функции.
ЧТО ЗНАЧИТ y = f (x)?
Обратите внимание, что мы используем выражение y=f(x) для записи функции. Всякий раз, когда мы начинаем выражение с «f(x) = y», мы имеем в виду, что собираемся определить функцию, которая связывает набор чисел с набором значений переменной x.
FUNCTION как отношение
Таким образом, другими словами и, возможно, в более общем смысле, функция - это отношение между двумя наборами A и B, где всем элементам в наборе A назначен элемент из набора B. называются ИЗОБРАЖЕНИЙ а элементы множества A называются ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ.
Процесс соотнесения элементов называется ОТОБРАЖЕНИЕ. Конечно, эти сопоставления могут быть выполнены разными способами, но мы не будем вызывать их все как функции. Только те отображения, которые связывают элементы таким образом, что каждый элемент в множестве A имеет ровно одно изображение в множестве B, должны называться функциями. Иногда его пишут как f: A–> B. Это следует читать как «f является функцией от A до B».
Множество A называется ДОМЕН функции и множество B называется CO-ДОМЕН функции. Если f таково, что изображение одного элемента a из множества A является элементом b из множества B, то мы пишем f (a) = b, читаем как 'f of a равно b', или 'b - значение of f at a ', или' b - изображение a под f '.
ВИДЫ ФУНКЦИЙ
Функции можно классифицировать по тому, как они соотносят два набора.
One - одна или инъективная функция
Цифра говорит сама за себя. Это когда функция связывает каждый элемент набора с уникальным элементом другого набора, это функция один к одному или инъективная функция.
Многие - одна функция
И снова цифра не требует пояснений. Очевидно, что существует более одного прообраза одного изображения. Следовательно, отображение много к одному. Обратите внимание, что это не нарушает определение функции, поскольку ни один элемент из набора A не имеет более одного изображения в наборе B.
Функция ONTO или функция SURJECTIVE
Когда все элементы множества B имеют хотя бы один прообраз, функция называется Онто или сюръективной. Сопоставление может быть один к одному или много к одному. Тот, что изображен выше, очевидно, много к одному при отображении. Обратите внимание, что изображение, использованное ранее для отображения взаимно однозначного сопоставления, также относится к отображению. Этот вид взаимного сопоставления также известен как ПРОБЛЕМА отображение.
В функцию
Когда есть хотя бы одно изображение без какого-либо предварительного изображения, это функция INTO. В функции может быть один к одному или многие к одному. Тот, что изображен выше, очевидно, один в один.
ГРАФИК ФУНКЦИИ
Как было сказано ранее, что функция присваивает действительные числа некоторым действительным числам, вполне возможно и удобно построить пару чисел на декартовой плоскости XY. След, полученный при соединении точек, является графиком функции.
Рассмотрим функцию f(x) = x + 3. Затем мы могли бы оценить f(x) при x=1,2,3, чтобы получить три пары x и f(x) как (1,4), ( 3,6) и (5,8). Нанесение этих точек и их соединение показывает, что функция описывает прямую линию в плоскости xy. Эта линия является графиком функции.
Очевидно, характер следа будет меняться в зависимости от выражения для функции. Таким образом, мы получаем ряд графиков для различных видов выражений. Приведены некоторые.
Графики f(x) = sin x, f(x) = x2 и f(x) = ex слева направо
В этот момент можно увидеть, что выражение для функции на самом деле выглядит как уравнение. И это правда, например, y = x + 3 действительно уравнение, а также определение функции. Это ставит нас перед вопросом, все ли уравнения являются функциями? Если нет, то
Как определить, является ли уравнение функцией?
Все уравнения, изображенные на графиках ранее, на самом деле являются функциями, так как для всех них существует ровно одно значение f(x) или y для некоторого значения x. Это означает, что выражение для f(x) должно давать только одно значение при вычислении для любого значения x. Это справедливо для любого линейного уравнения. Но если мы рассмотрим уравнение y2 = 1-х2, мы обнаруживаем, что всегда есть два решения для всех x в пределах от 0 до 1, другими словами, каждому значению x в пределах его диапазона присваиваются два изображения. Это нарушает определение функции и, следовательно, не может быть названо функцией.
На графике должно быть яснее, что есть ровно два изображения каждого x, поскольку вертикальная линия, проведенная в любой точке на оси x, срежет график ровно в двух точках.
Итак, это подводит нас к одному важному выводу, что не все уравнения являются функциями. А является ли уравнение функцией, можно проверить с помощью тест вертикальной линии, который просто представляет собой переменную вертикальную линию в каждой точке оси x и проверяет, встречается ли она с графиком в одной точке.
Это также отвечает на другой важный вопрос, а именно: как определить, является ли функция один к одному? Разумеется, этот ответ также есть на графике и может быть проверен тестом вертикальной линии.
Теперь можно спросить, есть ли способ сказать то же самое, не получая график, или можно ли это сказать алгебраически, поскольку не всегда легко рисовать графики функций. Ну, да, это можно сделать, просто проверив, что f(a)=f(b) подразумевает a=b. Это означает, что даже если f(x) принимает одно и то же значение для двух значений x, то два значения x не могут быть разными. Возьмем пример функции
у = (х-1) / (х-2)
Как можно заметить, построить график этой функции сложно, так как она носит нелинейный характер и не подходит под описание ни одной знакомой кривой и тем более не определена при x=2 . Таким образом, эта проблема определенно требует другого подхода, отличного от теста вертикальной линии.
Итак, начнем с того, что позволим
f (а) = f (б)
=> (а-1) / (а-2) = (б-1) / (б-2)
=> (а-1) (б-2) = (б-1) (а-2)
=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2
=> 2a + b = 2b + a
=> 2 (ab) = (ab)
Это возможно только для ab=0 или a=b
Итак, функция действительно один к одному, и мы доказали это без построения графиков.
Теперь мы хотели бы увидеть, когда какая-либо функция не проходит этот тест. Мы могли бы захотеть проверить уравнение круга, которое мы тестировали ранее. Начнем с написания
f (а) = f (б)
f (х) = х2
=> а2=b2
a2 =b2
=> a = b или a = -b
Это просто означает, что есть решения, отличные от a = b, поэтому f (x) не является функцией.
ТАК ТРУДНО УЧИТАТЬ у = (х-1) / (х-2)?
Мы собираемся обсудить построение графиков функции более подробно в следующих статьях, но здесь необходимо познакомиться с основами построения графиков, поскольку они очень помогают при решении проблем. Визуальная интерпретация задачи исчисления часто упрощает задачу, а знание того, как построить график функции, является ключом к хорошей визуальной интерпретации.
Итак, чтобы построить график (x-1) / (x-2), мы начнем с нескольких важных наблюдений, таких как
1. Функция становится 0 при x=1.
2. Функция становится неопределенной при x=2.
3. Функция положительна всюду, кроме 1
Поскольку в этом интервале (x-1) положительно, а (x-2) отрицательно, это делает их отношение отрицательным.
4. Когда x стремится к -∞, функция приближается к единице с нижней стороны, что означает, что она приближается к 1, но всегда меньше 1.
Поскольку для x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 при | x | +2> | x | +1
5. Когда x стремится к + ∞, функция приближается к единице сверху, что означает, что она приближается к 1, но всегда больше 1.
6. Когда x переходит к 2 с левой стороны, функция переходит к -∞.
7. Когда x переходит к 2 с правой стороны, функция переходит к + ∞.
8. Функция всегда убывает при x> 2.
Доказательство:
В качестве (a, b) возьмем два близких значения x, такие что (a, b)> 2 и b> a
теперь, f (b) - f (a)
= (б-1) / (б-2) - (а-1) / (а-2)
={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)
= (ab) / {(a-2) (b-2)}
<0 при (ab) <0 при b> a
и (a-2) (b-2)> 0 при (a, b)> 2
Отсюда следует f (b) 2, другими словами, f (x) строго убывает при x> 2
- 9. Функция всегда убывает при x <2.
- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: то же, что и раньше. Мы оставляем это на ваше усмотрение.
Объединение этих наблюдений упрощает построение графиков. Комбинируя 4,9 и 6, мы можем сказать, что по мере того, как x изменяется от -∞ до 2, трасса начинается с единицы и постепенно падает до точки 0 при x = 1 и далее до -∞ при x = 2. Снова комбинируя 7,5 и 8, легко увидеть, что по мере того, как x идет от 2 до + ∞, трасса начинает падать с + ∞ и продолжает приближаться к единице, никогда не касаясь ее.
Это делает полный график похожим на
Теперь становится очевидно, что функция действительно один в один.
Заключение
До сих пор мы обсуждали основы теории функций. Теперь мы должны иметь четкое представление об определениях и типах функций. Также у нас было небольшое представление о графической интерпретации функций. Следующая статья будет более подробно освещать такие понятия, как диапазон и домен, обратные функции, различные функции и их графики, а также множество решенных проблем. Чтобы углубиться в изучение, вам предлагается прочитать
Исчисление Майкла Спивака.
Алгебра Майкла Артина.
Для получения дополнительных статей по математике, пожалуйста нажмите здесь..
