Полином Эрмита: 9 полных кратких фактов

  Многочлен Эрмита широко используется в приложениях как ортогональная функция. Многочлен Эрмита является решением ряда дифференциального уравнения Эрмита.

Уравнение Эрмита

    Дифференциальное уравнение второго порядка с конкретными коэффициентами в виде

d2г / дх2 – 2x dy/dx + 2xy = 0

известно как уравнение Эрмита, решая это дифференциальное уравнение, мы получим многочлен, который Многочлен Эрмита.

Найдем решение уравнения

d2г / дх2 – 2x dy/dx + 2ny = 0

с помощью последовательного решения дифференциального уравнения

теперь подставляя все эти значения в уравнение Эрмита, мы имеем

Это уравнение удовлетворяет значению k = 0, и, как мы предположили, значение k не будет отрицательным, теперь для члена самой низкой степени xм-2 возьмем k = 0 в первом уравнении, поскольку второе дает отрицательное значение, поэтому коэффициент xм-2 is

a0м (м-1)=0 ⇒ м=0,м=1

как0 ≠ 0

теперь таким же образом приравнивая коэффициент при xм-1 из второго суммирования

и приравнивая коэффициенты при xм + к к нулю,

aк + 2(м+к+2)(м+к+1)-2аk(м+кн) = 0

мы можем записать это как

aк + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1)k

если m = 0

aк + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) аk

если m = 1

aк + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) аk

для этих двух случаев теперь обсудим случаи для k

Когда $m=0,к + 2= 2(kn)/(k+2)(k+1)} аk$

Если $k=0 а2 =-2 н/2 а0=-на0$

$k=1, а3=2(1-n)/6 а1 =-2(n-1)/3 ! а1$

Если $k=2,4 =2(2-n)/12 а2 =2 (2-н)/12 (-на0) = 22 п(п-2)/4 ! а0$

пока m = 0, мы имеем два условия, когда a1= 0, то a3=a5=a7=…. = А2к + 1= 0 и когда a1 не равно нулю тогда

следуя этому положению значений a0,a1,a2,a3,a4 и5 у нас есть

а при m = 1 a1= 0, положив k = 0,1,2,3,… .. получаем

aк + 2 = 2(к+1-п)/(к+3)(к+2)аk

так что решение будет

так что полное решение

где A и B - произвольные постоянные

Многочлен Эрмита

   Решение уравнения Эрмита имеет вид y (x) = Ay1(x) + По2(x) где y1(x) и y2(x) - члены ряда, как обсуждалось выше,

одна из этих серий заканчивается, если n - неотрицательное целое число, если n - четное y1 заканчивается в противном случае y2 если n нечетное, и мы легко можем проверить, что для n = 0,1,2,3,4 …… .. эти многочлены являются

1,х,1-2х2, х-2/3 х3, 1-4x2+4/3x4, х-4/3х3+ 4/15x5

поэтому мы можем сказать здесь, что решение уравнения Эрмита является постоянным кратным этим многочленам, а члены, содержащие наивысшую степень x, имеют вид 2nxn обозначается Hn(x) известен как Эрмитовый полином

Производящая функция полинома Эрмита

Многочлен Эрмита обычно определяется с помощью отношения, использующего производящую функцию

[n / 2] - наибольшее целое число, меньшее или равное n / 2, поэтому оно следует за значением Hn(Х) as

это показывает, что Hn(Х) является многочленом степени n от x и

Hn(х) = 2nxn + пп-2 (Х)

в котором πп-2 (x) - многочлен степени n-2 от x, и он будет четной функцией x для четного значения n и нечетной функцией x для нечетного значения n, поэтому

Hn(-х) = (-1)n Hn(Х)

некоторые из начальных многочленов Эрмита являются

H0(х) = 1

H1(х) = 2x

H2(х) = 4x2 -2

H3(х) = 8x3-12

H4(х) = 16x4 - 48x2+12

H5(х) = 32x2 - 160x3+ 120x

Производящая функция полинома Эрмита по формуле Родрига

Многочлен Эрмита также можно определить с помощью формулы Родрига, используя производящую функцию

так как отношение производящей функции

  Используя теорему Маклорена, имеем

or

положив z = xt и

для t = 0, поэтому z = x дает

это мы можем показать по-другому, как

дифференцирующий

по t дает

принимая предел t стремится к нулю

теперь дифференцируя по x

принимая предел t стремится к нулю

из этих двух выражений мы можем написать

таким же образом мы можем написать

 дифференцируя n раз, положим t = 0, получим

из этих значений мы можем написать

из них мы можем получить значения

Пример полинома Эрмита           

  1. Найдите обычный многочлен от

Решение: используя определение полинома Эрмита и соотношения, которые мы имеем

2. Найдите многочлен Эрмита обыкновенного многочлена

Решение: данное уравнение мы можем преобразовать в Эрмита как

и из этого уравнения приравнивая тот же коэффициент мощности

следовательно, многочлен Эрмита будет

Ортогональность многочлена Эрмита | Ортогональность полинома Эрмита

Важной характеристикой полинома Эрмита является его ортогональность, согласно которой

Чтобы доказать эту ортогональность, напомним, что

которая является производящей функцией для полинома Эрмита, и мы знаем

поэтому умножая эти два уравнения, мы получим

умножение и интегрирование в бесконечных пределах

и с тех пор

so

используя это значение в приведенном выше выражении, мы имеем

который дает

теперь приравняем коэффициенты с обеих сторон

что показывает свойство ортогональности многочлена Эрмита.

  Результат ортогональности многочлена Эрмита можно показать иным образом, рассмотрев рекуррентное соотношение

Пример ортогональности многочлена Эрмита

1. вычислить интеграл

Решение: Используя свойство ортогональности многочлена Эрмита

поскольку здесь значения m = 3 и n = 2, поэтому

2. Вычислить интеграл

Решение: Используя свойство ортогональности многочлена Эрмита, мы можем написать

Рекуррентные соотношения полинома Эрмита

Значение полинома Эрмита легко найти с помощью рекуррентных соотношений

Эрмитовый полином
Полиномиальные рекуррентные соотношения Эрмита

Эти отношения легко получить с помощью определения и свойств.

Доказательства: 1. Мы знаем уравнение Эрмита

y”-2xy'+2ny = 0

и отношение

частично выполняя дифференцирование по x, мы можем записать его как

из этих двух уравнений

теперь замените n на n-1

приравнивая коэффициент при tn

так что требуемый результат

2. Аналогичным образом дифференцируя частично по t уравнение

мы получаем

n = 0 исчезнет, ​​поэтому, положив это значение e

теперь приравняв коэффициенты при tn

таким образом

3. Для доказательства этого результата исключим Hп-1 от

и

так что мы получаем

таким образом, мы можем записать результат

4. Чтобы доказать этот результат, продифференцируем

мы получаем отношение

подставляя значение

и заменив n на n + 1

который дает

Примеры рекуррентных соотношений многочлена Эрмита

1. покажите это

H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n

Решение:

Чтобы показать результат, у нас есть

Н2п(х) =

взяв x = 0, мы получаем

2. Покажите, что

ЧАС'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2

Решение:

Поскольку из рекуррентного соотношения

ЧАС'n(х) = 2нГнп-1(Х)

здесь замените n на 2n + 1, чтобы

ЧАС'2n-1(х) = 2(2n+1) Н2n(Х)

принимая x = 0

3. Найдите значение

H2n + 1(0)

Решения

Поскольку мы знаем

используйте x = 0 здесь

H2n-1(0) = 0

4. Найдите значение H '2n(0).

Решения :

у нас есть рекуррентное соотношение

ЧАС'n(х) = 2нГнп-1(Х)

здесь замените n на 2n

ЧАС'2n(х) = =2(2n)Н2n-1(Х)

положим x = 0

ЧАС'2n(0) = (4n)Н2n-1(0) = 4n*0=0

5. Покажите следующий результат

Решения :

Используя рекуррентное соотношение

ЧАС'n(х) = 2нГнп-1 (Х)

so

и

d3/ дх3 {Hn(х)} = 23п (п-1) (п-2) Нп-3(Х)

дифференцируя это m раз

который дает

6. Покажите, что

Hn(-х) = (-1)n Hn(Х)

Решения :

мы можем написать

от коэффициента tn у нас есть

и для -x

7. Вычислите интеграл и покажите

Решения : Для решения этой интегральной части используйте интеграционные части как

Теперь дифференциация под знаком интеграла дифференцируется с

относительно х

через

ЧАС'n(х) = 2nHп-1 (Х)

и

ЧАС'm(х) = 2 мГнм-1 (Х)

у нас есть

и с тех пор

𝝳 н,м-1 = 𝝳п+1, м

поэтому значение интеграла будет

Вывод:

Конкретный многочлен, который часто встречается в приложениях, - это многочлен Эрмита, поэтому здесь вкратце обсуждались основное определение, производящая функция, рекуррентные отношения и примеры, связанные с многочленом Эрмита, если вам требуется дополнительное чтение, пройдите

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Чтобы узнать больше о математике, следите за нашими Страница математики

Наверх