Полином Эрмита: 9 полных кратких фактов

  Многочлен Эрмита широко используется в приложениях как ортогональная функция. Многочлен Эрмита является решением ряда дифференциального уравнения Эрмита.

Уравнение Эрмита

    Дифференциальное уравнение второго порядка с конкретными коэффициентами в виде

d²г / дх² – 2x dy/dx + 2xy = 0

известно как уравнение Эрмита, решая это дифференциальное уравнение, мы получим многочлен, который Многочлен Эрмита.

Найдем решение уравнения

d²г / дх² – 2x dy/dx + 2ny = 0

с помощью последовательного решения дифференциального уравнения

теперь подставляя все эти значения в уравнение Эрмита, мы имеем

Это уравнение удовлетворяет значению k = 0, и, как мы предположили, значение k не будет отрицательным, теперь для члена самой низкой степени x^м-2 возьмем k = 0 в первом уравнении, поскольку второе дает отрицательное значение, поэтому коэффициент x^м-2 is

a₀м (м-1)=0 ⇒ м=0,м=1

как₀ ≠ 0

теперь таким же образом приравнивая коэффициент при x^м-1 из второго суммирования

и приравнивая коэффициенты при x^{м + к} к нулю,

a_{к + 2}(м+к+2)(м+к+1)-2а_k(м+кн) = 0

мы можем записать это как

a_{к + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1)_k

если m = 0

a_{к + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) а_k

если m = 1

a_{к + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) а_k

для этих двух случаев теперь обсудим случаи для k

Когда $m=0,_{к + 2}= 2(kn)/(k+2)(k+1)} а_k$

Если $k=0 а₂ =-2 н/2 а₀=-на₀$

$k=1, а₃=2(1-n)/6 а₁ =-2(n-1)/3 ! а₁$

Если $k=2,₄ =2(2-n)/12 а₂ =2 (2-н)/12 (-на₀) = 2² п(п-2)/4 ! а₀$

пока m = 0, мы имеем два условия, когда a₁= 0, то a₃=a₅=a₇=…. = А_{2к + 1}= 0 и когда a₁ не равно нулю тогда

следуя этому положению значений a₀,a₁,a₂,a₃,a₄ и₅ у нас есть

а при m = 1 a₁= 0, положив k = 0,1,2,3,… .. получаем

a_{к + 2} = 2(к+1-п)/(к+3)(к+2)а_k

так что решение будет

так что полное решение

где A и B - произвольные постоянные

Многочлен Эрмита

   Решение уравнения Эрмита имеет вид y (x) = Ay₁(x) + По₂(x) где y₁(x) и y₂(x) - члены ряда, как обсуждалось выше,

одна из этих серий заканчивается, если n - неотрицательное целое число, если n - четное y₁ заканчивается в противном случае y₂ если n нечетное, и мы легко можем проверить, что для n = 0,1,2,3,4 …… .. эти многочлены являются

1,х,1-2х², х-2/3 х³, 1-4x²+4/3x⁴, х-4/3х³+ 4/15x⁵

поэтому мы можем сказать здесь, что решение уравнения Эрмита является постоянным кратным этим многочленам, а члены, содержащие наивысшую степень x, имеют вид 2ⁿxⁿ обозначается H_n(x) известен как Эрмитовый полином

Производящая функция полинома Эрмита

Многочлен Эрмита обычно определяется с помощью отношения, использующего производящую функцию

[n / 2] - наибольшее целое число, меньшее или равное n / 2, поэтому оно следует за значением H_n(Х) as

это показывает, что H_n(Х) является многочленом степени n от x и

H_n(х) = 2ⁿxⁿ + п_п-2 (Х)

в котором π_п-2 (x) - многочлен степени n-2 от x, и он будет четной функцией x для четного значения n и нечетной функцией x для нечетного значения n, поэтому

H_n(-х) = (-1)ⁿ H_n(Х)

некоторые из начальных многочленов Эрмита являются

H₀(х) = 1

H₁(х) = 2x

H₂(х) = 4x² -2

H₃(х) = 8x³-12

H₄(х) = 16x⁴ - 48x²+12

H₅(х) = 32x² - 160x³+ 120x

Производящая функция полинома Эрмита по формуле Родрига

Многочлен Эрмита также можно определить с помощью формулы Родрига, используя производящую функцию

так как отношение производящей функции

  Используя теорему Маклорена, имеем

or

положив z = xt и

для t = 0, поэтому z = x дает

это мы можем показать по-другому, как

дифференцирующий

по t дает

принимая предел t стремится к нулю

теперь дифференцируя по x

принимая предел t стремится к нулю

из этих двух выражений мы можем написать

таким же образом мы можем написать

 дифференцируя n раз, положим t = 0, получим

из этих значений мы можем написать

из них мы можем получить значения

Пример полинома Эрмита           

1. Найдите обычный многочлен от

Решение: используя определение полинома Эрмита и соотношения, которые мы имеем

2. Найдите многочлен Эрмита обыкновенного многочлена

Решение: данное уравнение мы можем преобразовать в Эрмита как

и из этого уравнения приравнивая тот же коэффициент мощности

следовательно, многочлен Эрмита будет

Ортогональность многочлена Эрмита | Ортогональность полинома Эрмита

Важной характеристикой полинома Эрмита является его ортогональность, согласно которой

Чтобы доказать эту ортогональность, напомним, что

которая является производящей функцией для полинома Эрмита, и мы знаем

поэтому умножая эти два уравнения, мы получим

умножение и интегрирование в бесконечных пределах

и с тех пор

so

используя это значение в приведенном выше выражении, мы имеем

который дает

теперь приравняем коэффициенты с обеих сторон

что показывает свойство ортогональности многочлена Эрмита.

  Результат ортогональности многочлена Эрмита можно показать иным образом, рассмотрев рекуррентное соотношение

Пример ортогональности многочлена Эрмита

1. вычислить интеграл

Решение: Используя свойство ортогональности многочлена Эрмита

поскольку здесь значения m = 3 и n = 2, поэтому

2. Вычислить интеграл

Решение: Используя свойство ортогональности многочлена Эрмита, мы можем написать

Рекуррентные соотношения полинома Эрмита

Значение полинома Эрмита легко найти с помощью рекуррентных соотношений

Эти отношения легко получить с помощью определения и свойств.

Доказательства: 1. Мы знаем уравнение Эрмита

y”-2xy'+2ny = 0

и отношение

частично выполняя дифференцирование по x, мы можем записать его как

из этих двух уравнений

теперь замените n на n-1

приравнивая коэффициент при tⁿ

так что требуемый результат

2. Аналогичным образом дифференцируя частично по t уравнение

мы получаем

n = 0 исчезнет, ​​поэтому, положив это значение e

теперь приравняв коэффициенты при tⁿ

таким образом

3. Для доказательства этого результата исключим H_п-1 от

и

так что мы получаем

таким образом, мы можем записать результат

4. Чтобы доказать этот результат, продифференцируем

мы получаем отношение

подставляя значение

и заменив n на n + 1

который дает

Примеры рекуррентных соотношений многочлена Эрмита

1. покажите это

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

Решение:

Чтобы показать результат, у нас есть

Н2п(х) =

взяв x = 0, мы получаем

2. Покажите, что

ЧАС'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

Решение:

Поскольку из рекуррентного соотношения

ЧАС'_n(х) = 2нГн_п-1(Х)

здесь замените n на 2n + 1, чтобы

ЧАС'_2n-1(х) = 2(2n+1) Н_2n(Х)

принимая x = 0

3. Найдите значение

H_{2n + 1}(0)

Решения

Поскольку мы знаем

используйте x = 0 здесь

H_2n-1(0) = 0

4. Найдите значение H '_2n(0).

Решения :

у нас есть рекуррентное соотношение

ЧАС'_n(х) = 2нГн_п-1(Х)

здесь замените n на 2n

ЧАС'_2n(х) = =2(2n)Н_2n-1(Х)

положим x = 0

ЧАС'_2n(0) = (4n)Н_2n-1(0) = 4n*0=0

5. Покажите следующий результат

Решения :

Используя рекуррентное соотношение

ЧАС'_n(х) = 2нГн_п-1 (Х)

so

и

d³/ дх³ {H_n(х)} = 2³п (п-1) (п-2) Н_п-3(Х)

дифференцируя это m раз

который дает

6. Покажите, что

H_n(-х) = (-1)ⁿ H_n(Х)

Решения :

мы можем написать

от коэффициента tⁿ у нас есть

и для -x

7. Вычислите интеграл и покажите

Решения : Для решения этой интегральной части используйте интеграционные части как

Теперь дифференциация под знаком интеграла дифференцируется с

относительно х

через

ЧАС'_n(х) = 2_nH_п-1 (Х)

и

ЧАС'_m(х) = 2 мГн_м-1 (Х)

у нас есть

и с тех пор

𝝳 _н,м-1 = 𝝳_{п+1, м}

поэтому значение интеграла будет

Вывод:

Конкретный многочлен, который часто встречается в приложениях, - это многочлен Эрмита, поэтому здесь вкратце обсуждались основное определение, производящая функция, рекуррентные отношения и примеры, связанные с многочленом Эрмита, если вам требуется дополнительное чтение, пройдите

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Чтобы узнать больше о математике, следите за нашими Страница математики