Гамма-распределение: 7 важных свойств, которые вы должны знать

Гамма-распределение

Одной из непрерывных случайных величин и непрерывных распределений является гамма-распределение, поскольку мы знаем, что непрерывная случайная величина имеет дело с непрерывными значениями или интервалами, так же как и гамма-распределение с конкретной функцией плотности вероятности и функцией массы вероятности, в последовательном обсуждении, которое мы обсуждаем в подробно описать концепцию, свойства и результаты с примерами гамма-случайной величины и гамма-распределения.

Гамма-случайная величина или гамма-распределение | что такое гамма-распределение | определить гамма-распределение | функция плотности гамма-распределения | функция плотности вероятности гамма-распределения | доказательство гамма-распределения

Непрерывная случайная величина с функцией плотности вероятности

как известно, является гамма-случайной величиной или гамма-распределением, где α> 0, λ> 0 и гамма-функция

у нас есть очень частое свойство гамма-функции путем интегрирования по частям как

Если продолжить процесс, начиная с n, то

и, наконец, значение гаммы единицы будет

таким образом значение будет

cdf гамма-распределения | совокупное гамма-распределение | интеграция гамма-распределения

Компания кумулятивное распределение функция (cdf) гамма-случайной величины или просто функция распределения гамма-случайной величины такая же, как и у непрерывной случайной величины, при условии, что функция плотности вероятности отличается, т.е.

здесь функция плотности вероятности такая, как определено выше для гамма-распределения, кумулятивную функцию распределения мы также можем записать как

в обоих вышеперечисленных форматах значение pdf выглядит следующим образом

где α> 0, λ> 0 - действительные числа.

Формула гамма-распределения | формула гамма-распределения | уравнение гамма-распределения | вывод гамма-распределения

Чтобы найти вероятность для гамма-случайной величины, функция плотности вероятности, которую мы должны использовать для различных заданных α> 0, λ> 0, имеет вид

и используя приведенный выше PDF-файл, распределение для гамма-случайной величины мы можем получить следующим образом:

Таким образом, формула гамма-распределения требует значения pdf и пределов для гамма-случайной величины в соответствии с требованием.

Пример гамма-распределения

показать, что полная вероятность гамма-распределение является единицей с заданной функцией плотности вероятности, т.е.

при λ> 0, α> 0.
Решение:
используя формулу для гамма-распределения

так как функция плотности вероятности для гамма-распределения равна

который равен нулю для всех значений меньше нуля, поэтому вероятность теперь будет

используя определение гамма-функции

и подстановки получаем

таким образом

Среднее значение и дисперсия гамма-распределения | математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения | математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения | Среднее значение гамма-распределения | математическое ожидание гамма-распределения | ожидание гамма-распределения

В следующем обсуждении мы найдем среднее значение и дисперсию для гамма-распределения с помощью стандартных определений математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин,

Ожидаемое значение или среднее значение непрерывной случайной величины X с функцией плотности вероятности

или гамма случайная величина X будет

средство доказательства гамма-распределения | ожидаемое значение доказательства гамма-распределения

Чтобы получить ожидаемое значение или среднее значение гамма-распределения, мы будем следовать определению и свойству гамма-функции,
сначала по определению математического ожидания непрерывной случайной величины и функции плотности вероятности гамма-случайной величины мы имеем

путем отмены общего множителя и использования определения гамма-функции

теперь, когда у нас есть свойство гамма-функции

ценность ожидания будет

таким образом, среднее или ожидаемое значение гамма-случайной величины или гамма-распределения, которое мы получаем, равно

дисперсия гамма-распределения | дисперсия гамма-распределения

Дисперсия гамма-случайной величины с заданной функцией плотности вероятности

или дисперсия гамма-распределения будет

доказательство дисперсии гамма-распределения

Как мы знаем, дисперсия - это разница ожидаемых значений как

для гамма-распределения у нас уже есть значение среднего

теперь сначала давайте вычислим значение E [X²], поэтому по определению математического ожидания для непрерывной случайной величины имеем
поскольку функция f (x) является функцией распределения вероятностей гамма-распределения как

поэтому интеграл будет только от нуля до бесконечности

поэтому по определению гамма-функции мы можем написать

Таким образом, используя свойство гамма-функции, мы получили значение как

Теперь поместим ценность этих ожиданий в

таким образом, значение дисперсии гамма-распределения или гамма-случайной величины равно

Параметры гамма-распределения | двухпараметрическое гамма-распределение | 2 переменных гамма-распределения

Гамма-распределение с параметрами λ> 0, α> 0 и функцией плотности вероятности

имеет среднее значение и дисперсию статистических параметров как

и

поскольку λ - положительное действительное число, для упрощения и упрощения обработки другой способ - установить λ = 1 / β, чтобы получить функцию плотности вероятности в виде

вкратце функцию распределения или кумулятивную функцию распределения для этой плотности мы можем выразить как

эта функция гамма-плотности дает среднее значение и дисперсию как

и

что очевидно из подстановки.
Обычно используются оба способа либо гамма-распределение с параметром α и λ, обозначаемым гамма (α, λ) или гамма-распределение с параметрами β и λ, обозначенными гамма (β, λ) с соответствующими средними статистическими параметрами и дисперсией в каждой форме.
Оба они не что иное, как одно и то же.

График гамма-распределения | график гамма-распределения | гистограмма гамма-распределения

Характер гамма-распределения мы можем легко визуализировать с помощью графика для некоторых конкретных значений параметров, здесь мы рисуем графики для функции плотности вероятности и функции кумулятивной плотности для некоторых значений параметров.
возьмем функцию плотности вероятности в виде

тогда кумулятивная функция распределения будет

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения альфа как 1 и изменения значения бета.

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения альфа как 2 и изменения значения бета.

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения альфа как 3 и изменения значения бета.

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивную функцию распределения, фиксируя значение бета как 1 и изменяя значение альфа

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения бета как 2 и изменения значения альфа.

Описание: графики для функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения путем фиксации значения бета как 3 и изменения значения альфа.

Как правило, разные кривые для изменения альфа

Таблица гамма-распределения | стандартная таблица распределения гаммы

Числовое значение гамма-функции

числовые значения неполной гамма-функции:

Численное значение гамма-распределения для построения эскиза графика функции плотности вероятности и кумулятивной функции распределения для некоторых начальных значений выглядит следующим образом

1x	f (x), α = 1, β = 1	f (x), α = 2, β = 2	f (x), α = 3, β = 3	P (x), α = 1, β = 1	P (x), α = 2, β = 2	P (x), α = 3, β = 3
0	1	0	0	0	0	0
0.1	0.904837418	0.02378073561	1.791140927E-4	0.09516258196	0.001209104274	6.020557215E-6
0.2	0.8187307531	0.0452418709	6.929681371E-4	0.1812692469	0.00467884016	4.697822176E-5
0.3	0.7408182207	0.06455309823	0.001508062363	0.2591817793	0.01018582711	1.546530703E-4
0.4	0.670320046	0.08187307531	0.00259310613	0.329679954	0.01752309631	3.575866931E-4
0.5	0.6065306597	0.09735009788	0.003918896875	0.3934693403	0.02649902116	6.812970042E-4
0.6	0.5488116361	0.1111227331	0.005458205021	0.4511883639	0.03693631311	0.001148481245
0.7	0.4965853038	0.1233204157	0.007185664583	0.5034146962	0.04867107888	0.001779207768
0.8	0.4493289641	0.1340640092	0.009077669195	0.5506710359	0.06155193555	0.002591097152
0.9	0.4065696597	0.1434663341	0.01111227331	0.5934303403	0.07543918015	0.003599493183
1	0.3678794412	0.1516326649	0.01326909834	0.6321205588	0.09020401043	0.004817624203
1.1	0.3328710837	0.1586611979	0.01552924352	0.6671289163	0.1057277939	0.006256755309
1.2	0.3011942119	0.1646434908	0.01787520123	0.6988057881	0.1219013822	0.007926331867
1.3	0.272531793	0.1696648775	0.0202907766	0.727468207	0.1386244683	0.00983411477
1.4	0.2465969639	0.1738048563	0.02276101124	0.7534030361	0.1558049836	0.01198630787
1.5	0.2231301601	0.1771374573	0.02527211082	0.7768698399	0.1733585327	0.01438767797
1.6	0.201896518	0.1797315857	0.02781137633	0.798103482	0.1912078646	0.01704166775
1.7	0.1826835241	0.1816513461	0.03036713894	0.8173164759	0.2092823759	0.01995050206
1.8	0.1652988882	0.1829563469	0.03292869817	0.8347011118	0.2275176465	0.02311528775
1.9	0.1495686192	0.1837019861	0.03548626327	0.8504313808	0.2458550043	0.02653610761
2	0.1353352832	0.1839397206	0.03803089771	0.8646647168	0.2642411177	0.03021210849
2.1	0.1224564283	0.1837173183	0.04055446648	0.8775435717	0.2826276143	0.03414158413
2.2	0.1108031584	0.183079096	0.04304958625	0.8891968416	0.3009707242	0.03832205271
2.3	0.1002588437	0.1820661424	0.04550957811	0.8997411563	0.3192309458	0.04275032971
2.4	0.09071795329	0.1807165272	0.04792842284	0.9092820467	0.3373727338	0.04742259607
2.5	0.08208499862	0.179065498	0.05030071858	0.9179150014	0.3553642071	0.052334462
2.6	0.07427357821	0.1771456655	0.05262164073	0.9257264218	0.373176876	0.05748102674
2.7	0.06720551274	0.1749871759	0.05488690407	0.9327944873	0.3907853875	0.0628569343
2.8	0.06081006263	0.1726178748	0.05709272688	0.9391899374	0.4081672865	0.06845642568
2.9	0.05502322006	0.1700634589	0.05923579709	0.9449767799	0.4253027942	0.07427338744
3	0.04978706837	0.1673476201	0.0613132402	0.9502129316	0.4421745996	0.08030139707

поиск альфа и бета для гамма-распределения | как рассчитать альфа и бета для гамма-распределения | оценка параметров гамма-распределения

Для гамма-распределения, находящего альфа и бета, мы возьмем среднее значение и дисперсию гамма-распределения.

и

теперь мы получим значение беты как

so

и

таким образом

только взяв некоторые дроби из гамма-распределения, мы получим значение альфа и бета.

проблемы гамма-распределения и их решения | пример задач гамма-распределения | руководство по гамма-распределению | вопрос о гамма-распределении

1. Рассмотрите время, необходимое для решения проблемы для клиента, — это гамма-распределение в часах со средним значением 1.5 и дисперсией 0.75, что было бы вероятность того, что проблема время решения превышает 2 часа, если время превышает 2 часа, какова вероятность того, что проблема будет решена не менее чем за 5 часов.

Решение: поскольку случайная величина имеет гамма-распределение со средним значением 1.5 и дисперсией 0.75, поэтому мы можем найти значения альфа и бета, и с помощью этих значений вероятность будет

P (X> 2) = 13e^-4= 0.2381

и

P (X> 5 | X> 2) = (61/13) e^-6= 0.011631

2. Если отрицательная обратная связь за неделю от пользователей смоделирована в гамма-распределении с параметрами альфа 2 и бета как 4 после 12 недель отрицательной обратной связи после реструктуризации качества, может ли реструктуризация улучшить производительность на основе этой информации?

Решение: Поскольку это моделируется в гамма-распределении с α = 2, β = 4

мы найдем среднее значение и стандартное отклонение как μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

поскольку значение X = 12 находится в пределах стандартного отклонения от среднего значения, поэтому мы не можем сказать, что это улучшение или не улучшение за счет реструктуризации качества, чтобы доказать, что улучшение, вызванное предоставленной информацией о реструктуризации, является недостаточным.

3. Пусть X будет гамма-распределение с параметрами α=1/2, λ=1/2, найти функцию плотности вероятности для функции Y=квадратный корень из X

Решения: вычислим кумулятивную функцию распределения для Y как

теперь дифференцируя это по y, получаем функцию плотности вероятности для Y как

и диапазон для y будет от 0 до бесконечности

Вывод:

Концепция гамма-распределения в вероятности и статистике является одним из важных повседневных применимых распределений экспоненциального семейства, до сих пор обсуждались все концепции базового и более высокого уровня, связанные с гамма-распределение, если вам требуется дополнительное чтение, просмотрите упомянутые книги. Вы также можете посетить математика страница для получения дополнительной темы

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Первый курс вероятности Шелдона Росс
Очерки вероятности и статистики Шаума
Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH