Экспоненциальное семейство гамма-распределения: 21 важный факт

Содержание

  1. Специальная форма гамма-распределения и отношения гамма-распределения
  2. Экспоненциальная семья гамма-распределения
  3. Связь между гаммой и нормальным распределением
  4. Гамма-распределение Пуассона | гамма-распределение Пуассона отрицательное биномиальное
  5. Гамма-распределение Вейбулла
  6. Применение гамма-распределения в реальной жизни | гамма-распределение использует | применение гамма-распределения в статистике 
  7. Бета-гамма-распределение | взаимосвязь между гамма- и бета-распределением
  8. Двумерное гамма-распределение
  9. Двойное гамма-распределение
  10. Связь гаммы и экспоненциального распределения | экспоненциальное и гамма-распределение | гамма-экспоненциальное распределение
  11. Подходящее гамма-распределение
  12. Сдвинутое гамма-распределение
  13. Усеченное гамма-распределение
  14. Функция выживания гамма-распределения
  15. MLE гамма-распределения | гамма-распределение максимального правдоподобия | функция правдоподобия гамма-распределения
  16. Метод оценки параметров гамма-распределения моментов | метод оценки моментов гамма-распределение
  17. Доверительный интервал для гамма-распределения
  18. Гамма-распределение, сопряженное при экспоненциальном распределении | гамма-априорное распределение | гамма Пуассона с апостериорным распределением
  19. Функция квантиля гамма-распределения
  20. Обобщенное гамма-распределение
  21. Бета-обобщенное гамма-распределение

Специальная форма гамма-распределения и отношения гамма-распределения

  В этой статье мы обсудим специальные формы гамма-распределений и отношения гамма-распределения с различными непрерывными и дискретными случайными величинами, а также кратко обсуждаются некоторые методы оценки при выборке населения с использованием гамма-распределения.

Экспоненциальная семья гамма-распределения

  Экспоненциальное семейство гамма-распределения и это двухпараметрическое экспоненциальное семейство, которое в значительной степени является применимым семейством распределения, поскольку большинство реальных проблем можно смоделировать в экспоненциальном семействе гамма-распределения, а быстрый и полезный расчет в рамках экспоненциального семейства можно легко выполнить, в двух параметрах, если мы возьмем функцию плотности вероятности как

если мы ограничим известное значение α (альфа), это двухпараметрическое семейство сократится до одного параметрического экспоненциального семейства

а для λ (лямбда)

Связь между гаммой и нормальным распределением

  В функции плотности вероятности гамма-распределения, если мы возьмем альфа ближе к 50, мы получим природу функции плотности как

Экспоненциальная семья гамма-распределения
Экспоненциальная семья гамма-распределения

даже параметр формы в гамма-распределении, который мы увеличиваем, что приводит к подобию нормальной кривой нормального распределения, если мы будем стремиться, чтобы параметр формы альфа стремился к бесконечности, гамма-распределение будет более симметричным и нормальным, но поскольку альфа стремится к бесконечности значение x в гамма распределение будет стремиться к минус бесконечности, что приводит к полубесконечной поддержке бесконечного гамма-распределения, следовательно, даже гамма-распределение становится симметричным, но не таким, как нормальное распределение.

гамма-распределение Пуассона | гамма-распределение Пуассона отрицательное биномиальное

   Гамма-распределение Пуассона и биномиальное распределение - это дискретная случайная величина, случайная величина которой имеет дело с дискретными значениями, в частности, успехом и неудачей в форме испытаний Бернулли, которые дают случайный успех или неудачу только в результате, теперь также смесь Пуассона и гамма-распределения. известное как отрицательное биномиальное распределение, является результатом повторного испытания испытания Бернулли, его можно параметризовать по-разному, как если бы r-й успех произошел в количестве испытаний, то его можно параметризовать как

и если количество неудач до r-го успеха, то его можно параметризовать как

и учитывая значения r и p

общая форма параметризации для отрицательного биномиального или пуассоновского гамма-распределения имеет вид

и альтернативный вариант

это биномиальное распределение известно как отрицательное из-за коэффициента

и это отрицательное биномиальное или пуассоновское гамма-распределение хорошо определяется как полная вероятность, которую мы получим как единицу для этого распределения

Среднее значение и дисперсия для этого отрицательного биномиального гамма-распределения или распределения Пуассона равны

соотношение Пуассона и гамма мы можем получить следующим расчетом

Таким образом, отрицательный бином - это смесь пуассоновского и гамма-распределения, и это распределение используется при моделировании повседневных задач, где нам требуется дискретная и непрерывная смесь.

Экспоненциальная семья гамма-распределения
Экспоненциальная семья гамма-распределения

Гамма-распределение Вейбулла

   Существуют обобщения экспоненциального распределения, которые включают Вейбулла, а также гамма-распределение, поскольку распределение Вейбулла имеет функцию плотности вероятности как

и кумулятивная функция распределения как

где, поскольку pdf и cdf гамма-распределения уже обсуждались выше, основная связь между Вейбуллом и гамма-распределением заключается в том, что оба они являются обобщением экспоненциального распределения, разница между ними в том, что когда степень переменной больше единицы, тогда распределение Вейбулла дает быстрый результат, а при меньших чем 1 гамма дает быстрый результат.

     Мы не будем здесь обсуждать обобщенное гамма-распределение Вейбулла, которое требует отдельного обсуждения.

применение гамма-распределения в реальной жизни | гамма-распределение использует | применение гамма-распределения в статистике 

  Существует ряд приложений, в которых гамма-распределение используется для моделирования ситуации, такой как страховой случай для агрегирования, накопление суммы осадков, для любого продукта, его производства и распространения, толпы в конкретной сети, на телекоммуникационном обмене и т. д. на самом деле гамма-распределение дает время ожидания прогноз до следующего события для n-го события. Есть ряд применений гамма-распределения в реальной жизни.

бета-гамма-распределение | взаимосвязь между гамма- и бета-распределением

    Бета-распределение - это случайная величина с функцией плотности вероятности

в котором

который связан с гамма-функцией как

и бета-распределение, связанное с гамма-распределением, как если бы X было гамма-распределением с параметром альфа и бета, равным единице, и Y было бы гамма-распределением с параметром альфа, равным единице, и бета, тогда случайная величина X / (X + Y) является бета-распределением.

или Если X - это Gamma (α, 1), а Y - Gamma (1, β), то случайная величина X / (X + Y) является Beta (α, β) 

, а также

двумерное гамма-распределение

     Двумерная или двумерная случайная величина является непрерывной, если существует функция f (x, y) такая, что совместная функция распределения

в котором

и совместная функция плотности вероятности, полученная с помощью

существует ряд двумерных гамма-распределений, одно из них - двумерное гамма-распределение с функцией плотности вероятности как

двойное гамма-распределение

  Двойное гамма-распределение - это одно из двумерных распределений с гамма-случайными величинами, имеющими параметр альфа и один с совместной функцией плотности вероятности как

эта плотность образует двойное гамма-распределение с соответствующими случайными величинами, а производящая функция момента для двойного гамма-распределения равна

связь между гаммой и экспоненциальным распределением | экспоненциальное и гамма-распределение | гамма-экспоненциальное распределение

   поскольку экспоненциальное распределение - это распределение с функцией плотности вероятности

а гамма-распределение имеет функцию плотности вероятности

ясно, что значение альфа, если мы положим его как единицу, мы получим экспоненциальное распределение, то есть гамма-распределение - это не что иное, как обобщение экспоненциального распределения, которое предсказывает время ожидания до наступления следующего n-го события, в то время как экспоненциальное распределение предсказывает ожидание время до наступления следующего события.

подходящее гамма-распределение

   Поскольку подбор данных в виде гамма-распределения подразумевает нахождение двухпараметрической функции плотности вероятности, которая включает параметры формы, местоположения и масштаба, таким образом, нахождение этих параметров с различным применением и вычисление среднего значения, дисперсии, стандартного отклонения и производящая функция момента - это подгонка гамма-распределения, поскольку в гамма-распределении будут моделироваться различные проблемы реальной жизни, поэтому информация в соответствии с ситуацией должна соответствовать гамма-распределению, для этой цели уже существуют различные методы в различных средах, например, в R, Matlab, Excel и т. д.

смещенное гамма-распределение

     В соответствии с приложением и необходимостью всякий раз, когда требуется сдвиг распределения от двухпараметрического гамма-распределения, новые обобщенные три параметра или любое другое обобщенное гамма-распределение смещают расположение формы и масштаб, такое гамма-распределение известно как сдвинутое гамма-распределение.

усеченное гамма-распределение

     Если мы ограничиваем диапазон или область гамма-распределения для масштаба формы и параметров местоположения, ограниченное гамма-распределение известно как усеченное гамма-распределение, основанное на условиях.

функция выживаемости гамма-распределения

                Функция выживаемости для гамма-распределения определяется функцией s (x) следующим образом

mle гамма-распределения | гамма-распределение максимального правдоподобия | функция правдоподобия гамма-распределения

мы знаем, что с максимальной вероятностью взять выборку из совокупности в качестве репрезентативной, и эту выборку рассматривать как оценку для функции плотности вероятности, чтобы максимизировать параметры функции плотности, прежде чем перейти к гамма-распределению, вспомните некоторые основы, как для случайной величины X функция плотности вероятности с тета в качестве параметра имеет функцию правдоподобия как

это мы можем выразить как

и метод максимизации этой функции правдоподобия может быть

если такая тета удовлетворяет этому уравнению, и поскольку log является монотонной функцией, мы можем записать в терминах log

и такой супремум существует, если

теперь мы применяем максимальное правдоподобие для функции гамма-распределения как

логарифмическая вероятность функции будет

так что

и поэтому

Это может быть достигнуто также как

by

а параметр можно получить, дифференцируя

метод оценки параметров гамма-распределения моментов | метод оценки моментов гамма-распределение

   Мы можем вычислить моменты совокупности и выборки с помощью математического ожидания n-го порядка соответственно, метод момента уравнивает эти моменты распределения и выборки для оценки параметров, предположим, что у нас есть выборка гамма-случайной величины с функцией плотности вероятности как

мы знаем, что первые моменты буксировки для этой функции плотности вероятности равны

so

мы получим из второго момента, если подставим лямбду

и из этого значения альфа

и теперь лямбда будет

и оценщик момента, использующий образец, будет

доверительный интервал для гамма-распределения

   Доверительный интервал для гамма-распределения - это способ оценки информации и ее неопределенности, который сообщает, что интервал, как ожидается, будет иметь истинное значение параметра, при каком проценте этот доверительный интервал получается из наблюдений случайных величин, поскольку он получается из random сам по себе является случайным, чтобы получить доверительный интервал для гамма-распределения. В разных приложениях используются разные методы, которым мы должны следовать.

сопряженное априорное гамма-распределение для экспоненциального распределения | гамма-априорное распределение | гамма Пуассона с апостериорным распределением

     Апостериорное и априорное распределение — это терминология байесовского теория вероятности и они сопряжены друг с другом, любые два распределения сопряжены, если апостериорное значение одного распределения является другим распределением, с точки зрения тета покажем, что гамма-распределение сопряжено до экспоненциального распределения

если функция плотности вероятности гамма-распределение с точки зрения теты, как

Предположим, что функция распределения для тета является экспоненциальной от заданных данных

так что совместное распределение будет

и используя соотношение

у нас есть

который

Таким образом, гамма-распределение сопряжено до экспоненциального распределения, так как апостериорное гамма-распределение.

функция квантиля гамма-распределения

   Функция Qauntile гамма-распределения будет функцией, которая дает точки в гамма-распределении, которые связаны с порядком ранжирования значений в гамма-распределении, для этого требуется кумулятивная функция распределения и для разных языков разные алгоритмы и функции для квантилей гамма-распределения.

обобщенное гамма-распределение

    Поскольку само гамма-распределение является обобщением экспоненциального семейства распределений, добавление дополнительных параметров к этому распределению дает нам обобщенное гамма-распределение, которое является дальнейшим обобщением этого семейства распределений, физические требования дают другое обобщение, одно из наиболее частых - использует функцию плотности вероятности в виде

кумулятивная функция распределения для такого обобщенного гамма-распределения может быть получена следующим образом:

где числитель представляет неполную гамма-функцию как

используя эту неполную гамма-функцию, функция выживания для обобщенного гамма-распределения может быть получена как

другая версия этого трехпараметрического обобщенного гамма-распределения, имеющего функцию плотности вероятности, является

где k, β, θ - параметры больше нуля, это обобщение имеет проблемы сходимости, чтобы преодолеть параметры Вейбулла, заменяющие

с использованием этой параметризации сходимость полученной функции плотности, поэтому более обобщением для гамма-распределения со сходимостью является распределение с функцией плотности вероятности как

Бета-обобщенное гамма-распределение

   Гамма-распределение, включающее параметр бета в функции плотности, из-за которого иногда гамма-распределение известно как бета-обобщенное гамма-распределение с функцией плотности.

с кумулятивной функцией распределения как

который уже подробно обсуждается при обсуждении гамма-распределения, дальнейшее бета-обобщенное гамма-распределение определяется с помощью cdf как

где B (a, b) - бета-функция, и функция плотности вероятности для этого может быть получена путем дифференцирования, а функция плотности будет

здесь G (x) - это определенное выше кумулятивное распределение. функция гамма-распределения, если мы поместим это значение, то кумулятивная функция распределения бета-обобщенного гамма-распределения равна

и функция плотности вероятности

остальные свойства могут быть расширены для этого бета-обобщенного гамма-распределения с обычными определениями.

Вывод:

Существуют разные формы и обобщения гамма-распределение и экспоненциальное семейство гамма-распределения в соответствии с реальными жизненными ситуациями, поэтому возможные такие формы и обобщения были охвачены в дополнение к методам оценки гамма-распределения при выборке информации о населении. Если вам требуется дополнительное чтение по экспоненциальному семейству гамма-распределения, перейдите по ссылке ниже и книги. Чтобы узнать больше о математике, посетите наша страница.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH

Наверх