Дискретная случайная величина и математическое ожидание

Обычно нас не интересуют все возможные результаты любого случайного или неслучайного эксперимента, вместо этого нас интересует некоторая вероятность или числовое значение для благоприятных событий, например, предположим, что мы бросаем два кубика на сумму как 8, тогда мы не заинтересованы в исходе, так как первый кубик имеет 2 вторых кубика как 6 или (3,5), (5,3), (4,4), (6,2) и т. д. аналогично для случайного эксперимента с водохранилищем в повседневной жизни нас не интересует ежедневное повышение или понижение уровня воды, а интересует только уровень воды в сезон дождей после завершения.

Таким образом, такие числовые величины, которые нас интересуют, считаются случайной величиной соответствующего случайного эксперимента. Для этого мы численно присваиваем возможные реальные значения результатам случайного эксперимента. Для иллюстрации присвоения числового значения результату рассмотрим эксперимент с подбрасыванием монеты, мы присвоим числовые значения 0 и 1 для головы и следа соответственно в пространстве выборки случайного эксперимента.

Дискретная случайная переменная

Дискретная случайная величина может быть определена как случайная величина, которая имеет конечное или счетно бесконечное число, а те, которые не являются конечными или счетно бесконечными, являются недискретными случайными величинами. Каждому элементу выборочного пространства мы присваиваем действительное число, это можно интерпретировать в терминах вещественной функции, обозначенной X, то есть X: S → R. Мы называем эту функцию случайной величиной или стохастической функцией, которая имеет какое-то физическое, геометрическое или любое другое значение.

Пример: Рассмотрим эксперимент по бросанию двух кубиков, а затем предположим случайную величину или стохастическая функция представляют собой сумму точек, выпавших на кубике, а затем возможные значения для выборочного пространства

S = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

будет X = 2, для (1,1)

X = 3 для (1,2), (2,1) и т. Д. Из следующего мы можем легко понять

Х = 2	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
Х = 3	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
Х = 4	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
Х = 5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
Х = 6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)
Х = 7	Х = 8	Х = 9	Х = 10	Х = 11		Х = 12

В приведенной выше таблице диагональные элементы справа налево дают сумму, выраженную случайной величиной или стохастической функцией.

Вероятность соответствующей случайной величины можно выразить следующим образом

Дискретная случайная переменная: бросание двух пробелов в кости

Дискретное распределение вероятностей

Дискретное распределение вероятностей - вероятности случайных величин, которые имеют дискретный характер, в частности, если x₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄, ………., Икс_k значения дискретная случайная величина X, затем P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_k) - соответствующие вероятности.

Функцию вероятности / распределение вероятностей мы можем обозначить как

Р (Х = х) = е (х)

и, следуя определению вероятности, эта функция удовлетворяет следующим условиям.

f (x) ≥0
Σ f (x) = 1, где это суммирование является полным суммированием для x.

Пример: Если монета подбрасывается два раза, то, если мы выразим количество следов как случайную величину X, то это будет

Результаты	TT	TH	HT	HH
X	2	1	1	0

Если мы возьмем честную монету, то вышеупомянутое будет результатом двойного подбрасывания, и вероятность для такой случайной величины будет

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X = 1) = P (TH или HT) = P (TH ∪ HT) = P (TH) + P (HT) = 1/4 + 1/4 = 1/2

и P (X = 2) = P (TT) = 1/4

Это распределение вероятностей мы можем представить в виде таблицы

X	0	1	2
Р (Х = х) = е (х)	¼	½	1/4

Кумулятивная функция распределения (cdf) / функция распределения

Мы определим Функция распределения or Кумулятивная функция распределения (cdf) для дискретной случайной величины X, обозначенной F (x), для-∞≤x≤∞ как

F (х) = P (X≤x)

При условии, что это следует

Для любых x, y, x≤y, F (x) ≤ F (y), т.е. кумулятивная функция распределения F (x) не убывает.
F (x) = 0 и F (x) = 1
F (x + h) = F (x), ∀ x т.е. кумулятивная функция распределения F (x) непрерывна справа.

Поскольку для дискретная случайная величина вероятность для X = x равна P (X = x), для x₁<X<x₂ будет P (x₁<X<x₂), а для X≤x - P (X≤x).

Мы можем записать функцию распределения для дискретной функции распределения следующим образом

мы можем получить функцию вероятности из функции распределения как

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Пример: Компания вероятность для дискретной случайной величины задается следующим образом

X	0	1	2	3	4	5	6	7
Р (х)	0	1/10	1/5	1/5	3/10	1/100	1/50	17/100

Кумулятивная функция распределения

Найти F2, F5, F (7)?

Решение:

Математическое ожидание

Математическое ожидание очень важное понятие для теория вероятности а также с точки зрения статистики, это также известно как ожидание или ожидаемое значение, его можно определить как сумму случайных величин и их вероятностей при умножении, т.е. если x₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄, ……….Икс_n - значения дискретной случайной величины X, то P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄),……….P(xn) – соответствующие вероятности, то математическое ожидание случайной величины X обозначается через E(x) как

Пример: Из колоды из 72 карт, пронумерованных от 1 до 72, разыгрываются 8 карт, найдите математическое ожидание суммы чисел на выпавших билетах.

Решение:. рассмотрим случайные величины x₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄,……….Икс_n представляющие карты под номерами 1, 2, 3, 4, ………, 72

так что вероятность выпадения любого x из 72 карт равна

P (x_i) = 1 / п = 1/72

с тех пор ожидание будет

Е (х) = х₁. (1 / п) + х₂. (1 / п) + х₃. (1 / n) + …………… + x_n. (1 / п)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Теперь ожидаемая стоимость 8 таких карт будет

Е (х) = х₁. (1 / п) + х₂. (1 / п) + х₃. (1 / n) + …………… + x₈. (1 / п)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

дисперсия, Стандартное отклонение и Среднее отклонение математическим ожиданием

Компания важные понятия статистики стандартное отклонение и дисперсия мы можем выразить через математическое ожидание, поэтому, если случайные величины x₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄, ……….Икс_n с соответствующими вероятностями P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_n) тогда дисперсия будет

Пример: В игре, если используются справедливые кости, и игрок выиграет, если на кубиках выпадет какое-либо нечетное значение, и призовые деньги будут даны 20 рупий, если выпадет 1, 40 рупий за 3 и 60 рупий за 5, и если любая другая сторона кубика проиграл игроку 10 рупий. найти ожидаемые деньги, которые можно выиграть с дисперсией и стандартным отклонением.

Решение:

Для честных игральных костей мы знаем распределение вероятностей,

X	1	2	3	4	5	6
Р (Х = х)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

стандартное отклонение

Пусть X будет случайной величиной для преобразования кости в соответствии с требованиями игры: выигранные или проигранные деньги при выпадении карты:

X	+20	-10	40	-10	60	-10
Р (Х = х)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

стандартное отклонение

так что ожидаемая сумма выигрыша любого игрока будет

E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

поэтому ожидаемая сумма выигрыша любого игрока будет μ = 15

Результат математического ожидания, а также дисперсия могут быть обобщены для более чем двух переменных в соответствии с требованиями.

Вывод:

В этой статье мы в основном обсудили дискретную случайную величину, распределение вероятностей и функцию распределения, известную как кумулятивная функция распределения cdf. Математическое ожидание для дискретной случайной величины и что будет средним отклонением, дисперсией и стандартным отклонением для такой дискретной случайной величины, объясняется с помощью подходящих примеров в следующей статье, мы обсудим то же самое для непрерывной случайной величины, если вы хотите продолжить чтение, пройдите:

Чтобы узнать больше о математике, следуйте этой ссылке.

Очерки вероятности и статистики Шаума

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability