Ковариация, дисперсия сумм: 7 важных фактов

Ковариация, вариация сумм и корреляции случайных переменных.

Статистические параметры случайных величин различной природы с использованием определения математического ожидания случайной величины легко получить и понять, далее мы найдем некоторые параметры с помощью математического ожидания случайной величины.

Моменты количества происходящих событий

Пока мы знаем, что ожидание различных степеней случайной величины - это моменты случайных величин, и как найти ожидание случайной величины от событий, если количество событий уже произошло, теперь нас интересует ожидание, если пара количества событий уже произошло, теперь, если X представляет собой номер события, то для событий A₁,₂,…., А_n определить индикаторную переменную I_i as

Это визуализированная форма уравнения. Вы не можете редактировать это напрямую. Щелчок правой кнопкой мыши даст вам возможность сохранить изображение, и в большинстве браузеров вы можете перетащить изображение на свой рабочий стол или в другую программу.

ожидание X в дискретном смысле будет

потому что случайная величина X

теперь, чтобы найти ожидание, если количество пар событий уже произошло, мы должны использовать сочетание as

это дает ожидание, поскольку

отсюда мы получаем математическое ожидание x в квадрате и значение дисперсии также на

Используя это обсуждение, мы фокусируемся на различных типах случайных величин, чтобы найти такие моменты.

Моменты биномиальных случайных величин

Если p - вероятность успеха из n независимых испытаний, то обозначим A_i для испытания я как успех так

$E\left [ \binom{X}{2} \right ]= \sum_{i< j}^{} p^{2} = \binom{n}{2}p^{2}$

и, следовательно, дисперсия биномиальной случайной величины будет

, так как:

если мы обобщим на k событий

$E[X(X-1) \cdot \cdot \cdot \cdot (X-k+1) ] =n(n-1) \cdot\cdot\cdot (n-k+1)p^{k}$

это ожидание мы можем получить последовательно для значения k больше 3, найдем для 3

$E[X^{3} -3X^{2} +2X] =n(n-1)(n-2)p^{3}$

используя эту итерацию, мы можем получить

Моменты гипергеометрических случайных величин

Моменты этой случайной величины мы поймем на примере: предположим, что n ручек случайно выбраны из коробки, содержащей N ручек, из которых m синие. Пусть A_i обозначают события, которые i-е перо синее, теперь X - количество выбранных синих пера равно количеству событий A₁,A₂,… .., А_n это происходит потому, что выбранное перо i с равной вероятностью совпадает с любым из N перьев, m из которых синие

и так

$E\left [ \binom{X}{2} \right ] =\sum_{i< j}^{}\frac{m(m-1)}{n(n-1)} =\binom{n}{2}\frac{m(m-1)}{n(n-1)}$

это дает

поэтому дисперсия гипергеометрической случайной величины будет

$= n(n-1)\frac{m(m-1)}{N(N-1)} +\frac{nm}{N} -\frac{n^{2}m^{2}}{N^{2}}$ $=\frac{nm}{N} \left [ \frac{(n-1)(m-1)}{N-1} +1 + -\frac{mn}{N} \right ]$

аналогично для высших моментов

$E\left [ \binom{X}{k} \right ] = \binom{n}{k} \frac{m(m-1)\cdot \cdot \cdot \cdot (m-k+1)}{N(N-1)\cdot \cdot \cdot \cdot (N-k+1)}$

следовательно

Моменты отрицательных гипергеометрических случайных величин

Рассмотрим пример упаковки, содержащей n + m вакцин, из которых n специальных и m обычных, эти вакцины удаляются по одной, причем каждое новое удаление с равной вероятностью будет любой из вакцин, оставшихся в упаковке. Теперь пусть случайная величина Y обозначает количество вакцин, которые необходимо отозвать до тех пор, пока не будет удалено всего r специальных вакцин, что является отрицательным гипергеометрическим распределением, это как-то похоже на отрицательное биномиальное биномиальное распределение в отношении гипергеометрического распределения. найти вероятность функция массы, если k-й розыгрыш дает специальную вакцину, после розыгрыша k-1 дает специальную вакцину r-1 и обычную kr вакцину

теперь случайная величина Y

Y = г + X

для мероприятий A_i

$E[Y]=r+ m\frac{r}{n+1}=\frac{r(n+m+1)}{n+1}$

следовательно, чтобы найти дисперсию Y, мы должны знать дисперсию X, поэтому

следовательно

КОВАРИАНТНОСТЬ

Связь между двумя случайными величинами может быть представлена ковариацией статистических параметров, прежде чем определять ковариацию двух случайных величин X и Y, напомним, что математическое ожидание двух функций g и h случайных величин X и Y соответственно дает

используя это отношение ожидания, мы можем определить ковариацию как

«Ковариация между случайной величиной X и случайной величиной Y, обозначенная cov (X, Y), определяется как

используя определение ожидания и расширение, мы получаем

$=E[XY] - E[X]E[Y] - E[X]E[Y] +E[X]E[Y]$ $=E[XY] - E[X]E[Y]$

ясно, что если случайные величины X и Y независимы, то

но обратное неверно, например, если

и определив случайную величину Y как

здесь ясно, что X и Y не независимы, но ковариация равна нулю.

Свойства ковариации

Ковариация между случайными величинами X и Y имеет следующие свойства:

Используя определение ковариации, первые три свойства являются непосредственными, а четвертое свойство следует из рассмотрения

теперь по определению

Разница сумм

Важным результатом этих свойств является

$Var\left ( \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right ) =\sum_{i=1}^{n}Var(X_{i}) +2 \sum \sum_{i< j}^{} Cov(X_{i},X_{j})$

Если X_i попарно независимы, то

Пример: дисперсия биномиальной случайной величины

Если X - случайная величина

где X_i - независимые случайные величины Бернулли такие, что

затем найдите дисперсию биномиальной случайной величины X с параметрами n и p.

Решение:

поэтому для одной переменной у нас есть

так что дисперсия

Пример

Для независимых случайных величин X_i с соответствующими средними и дисперсией и новой случайной величиной с отклонением как

затем вычислить

решение:

Используя указанное выше свойство и определение, мы имеем

$=\left ( \frac{1}{n} \right )^{2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_{i}) \ \ by \ \ independence$

теперь для случайной величины S

принять ожидание

Пример:

Найдите ковариацию индикаторных функций для событий A и B.

Решение:

для событий A и B индикаторные функции

так что ожидание этого

таким образом, ковариация

Пример:

Покажи это

где X_i независимые случайные величины с дисперсией.

Решение:

Ковариация с использованием свойств и определения будет

Пример:

Вычислите среднее значение и дисперсию случайной величины S, которая является суммой n выборочных значений, если набор из N человек, каждый из которых имеет мнение об определенном предмете, которое измеряется действительным числом. v который представляет «силу чувств» человека к предмету. Позволять представляют силу чувства человека что неизвестно, для сбора информации случайным образом выбирается выборка n из N, эти n человек опрашиваются, и их чувства получают для вычисления vi.

Решения

определим индикаторную функцию как

таким образом, мы можем выразить S как

и его ожидание как

это дает дисперсию как

у нас есть

мы знаем личность

поэтому среднее значение и дисперсия для указанной случайной величины будут

Вывод:

Корреляция между двумя случайными величинами определяется как ковариация, и с помощью ковариации получается сумма дисперсии для разных случайных величин, ковариация и различные моменты с помощью определения математического ожидания получают, если вам требуется дальнейшее чтение, пройдите через

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH.

Чтобы узнать больше о математике, следите за нашими Страница математики