Ковариация, дисперсия сумм: 7 важных фактов

Ковариация, вариация сумм и корреляции случайных переменных.

  Статистические параметры случайных величин различной природы с использованием определения математического ожидания случайной величины легко получить и понять, далее мы найдем некоторые параметры с помощью математического ожидания случайной величины.

Моменты количества происходящих событий

    Пока мы знаем, что ожидание различных степеней случайной величины - это моменты случайных величин, и как найти ожидание случайной величины от событий, если количество событий уже произошло, теперь нас интересует ожидание, если пара количества событий уже произошло, теперь, если X представляет собой номер события, то для событий A1,2,…., Аn определить индикаторную переменную Ii as

ожидание X в дискретном смысле будет

потому что случайная величина X

теперь, чтобы найти ожидание, если количество пар событий уже произошло, мы должны использовать сочетание as

это дает ожидание, поскольку

отсюда мы получаем математическое ожидание x в квадрате и значение дисперсии также на

Используя это обсуждение, мы фокусируемся на различных типах случайных величин, чтобы найти такие моменты.

Моменты биномиальных случайных величин

   Если p - вероятность успеха из n независимых испытаний, то обозначим Ai для испытания я как успех так

и, следовательно, дисперсия биномиальной случайной величины будет

, так как:

если мы обобщим на k событий

это ожидание мы можем получить последовательно для значения k больше 3, найдем для 3

используя эту итерацию, мы можем получить

Моменты гипергеометрических случайных величин

  Моменты этой случайной величины мы поймем на примере: предположим, что n ручек случайно выбраны из коробки, содержащей N ручек, из которых m синие. Пусть Ai обозначают события, которые i-е перо синее, теперь X - количество выбранных синих пера равно количеству событий A1,A2,… .., Аn это происходит потому, что выбранное перо i с равной вероятностью совпадает с любым из N перьев, m из которых синие

и так

это дает

поэтому дисперсия гипергеометрической случайной величины будет

аналогично для высших моментов

следовательно

Моменты отрицательных гипергеометрических случайных величин

  Рассмотрим пример упаковки, содержащей n + m вакцин, из которых n специальных и m обычных, эти вакцины удаляются по одной, причем каждое новое удаление с равной вероятностью будет любой из вакцин, оставшихся в упаковке. Теперь пусть случайная величина Y обозначает количество вакцин, которые необходимо отозвать до тех пор, пока не будет удалено всего r специальных вакцин, что является отрицательным гипергеометрическим распределением, это как-то похоже на отрицательное биномиальное биномиальное распределение в отношении гипергеометрического распределения. найти вероятность функция массы, если k-й розыгрыш дает специальную вакцину, после розыгрыша k-1 дает специальную вакцину r-1 и обычную kr вакцину

теперь случайная величина Y

Y = г + X

для мероприятий Ai

as

следовательно, чтобы найти дисперсию Y, мы должны знать дисперсию X, поэтому

следовательно

КОВАРИАНТНОСТЬ             

Связь между двумя случайными величинами может быть представлена ​​ковариацией статистических параметров, прежде чем определять ковариацию двух случайных величин X и Y, напомним, что математическое ожидание двух функций g и h случайных величин X и Y соответственно дает

используя это отношение ожидания, мы можем определить ковариацию как

   «Ковариация между случайной величиной X и случайной величиной Y, обозначенная cov (X, Y), определяется как

используя определение ожидания и расширение, мы получаем

ясно, что если случайные величины X и Y независимы, то

но обратное неверно, например, если

и определив случайную величину Y как

so

здесь ясно, что X и Y не независимы, но ковариация равна нулю.

Свойства ковариации

  Ковариация между случайными величинами X и Y имеет следующие свойства:

Используя определение ковариации, первые три свойства являются непосредственными, а четвертое свойство следует из рассмотрения

теперь по определению

ковариационная

Разница сумм

Важным результатом этих свойств является

as

Если Xi попарно независимы, то

Пример: дисперсия биномиальной случайной величины

  Если X - случайная величина

где Xi - независимые случайные величины Бернулли такие, что

 затем найдите дисперсию биномиальной случайной величины X с параметрами n и p.

Решение:

с

поэтому для одной переменной у нас есть

так что дисперсия

Пример

  Для независимых случайных величин Xi с соответствующими средними и дисперсией и новой случайной величиной с отклонением как

затем вычислить

решение:

Используя указанное выше свойство и определение, мы имеем

теперь для случайной величины S

КОВАРИАНТНОСТЬ

принять ожидание

Пример:

Найдите ковариацию индикаторных функций для событий A и B.

Решение:

для событий A и B индикаторные функции

так что ожидание этого

таким образом, ковариация

Пример:

     Покажи это

где Xi независимые случайные величины с дисперсией.

Решение:

Ковариация с использованием свойств и определения будет

Пример:

  Вычислите среднее значение и дисперсию случайной величины S, которая является суммой n выборочных значений, если набор из N человек, каждый из которых имеет мнение об определенном предмете, которое измеряется действительным числом. v который представляет «силу чувств» человека к предмету. Позволять  представляют силу чувства человека  что неизвестно, для сбора информации случайным образом выбирается выборка n из N, эти n человек опрашиваются, и их чувства получают для вычисления vi.

Решения

определим индикаторную функцию как

таким образом, мы можем выразить S как

и его ожидание как

это дает дисперсию как

с

у нас есть

мы знаем личность

so

поэтому среднее значение и дисперсия для указанной случайной величины будут

Вывод:

Корреляция между двумя случайными величинами определяется как ковариация, и с помощью ковариации получается сумма дисперсии для разных случайных величин, ковариация и различные моменты с помощью определения математического ожидания получают, если вам требуется дальнейшее чтение, пройдите через

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH.

Чтобы узнать больше о математике, следите за нашими Страница математики

Наверх