Непрерывная случайная величина, типы и ее распределение

     Случайная величина, которая принимает конечные или счетно бесконечные значения, известна как дискретная случайная величина, и ее пара с вероятностью формирует распределение для дискретной случайной величины. Теперь для случайной переменной, которая принимает значения как неисчислимые, каковы будут вероятность и оставшиеся характеристики, которые мы собираемся обсудить. Таким образом, вкратце, непрерывная случайная величина - это случайная величина, набор значений которой неисчислим. Реальный пример непрерывной случайной величины - это срок службы электрических или электронных компонентов, прибытие конкретного общественного транспорта на остановки и т. Д.

Непрерывная случайная величина и функция плотности вероятности

                Случайная переменная  будет непрерывной случайной величиной, если для неотрицательной вещественнозначной функции f от x ∈ ℝ и B ⊆ ℝ и

эта функция f известна как Функция плотности вероятности  данной случайной величины X.

Компания функция плотности вероятности, очевидно, удовлетворяет следующим аксиомам вероятности

Поскольку из аксиом вероятности мы знаем, что полная вероятность равна единице, поэтому

Для непрерывной случайной величины вероятность будет вычисляться в терминах такой функции f, предположим, мы хотим найти вероятность для непрерывного интервала, скажем [a, b], тогда это будет

Как мы знаем, интегрирование представляет собой площадь под кривой, поэтому эта вероятность показывает такую ​​область для вероятности, например

приравняв a = b значение будет

и аналогичным образом вероятность для значения, меньшего или равного определенному значению, после этого будет

Пример: Время непрерывной работы электронного компонента выражается в виде непрерывной случайной величины, а функция плотности вероятности задается как

найти вероятность того, что компонент будет эффективно работать от 50 до 150 часов и вероятность менее 100 часов.

поскольку случайная величина представляет собой непрерывную случайную величину, поэтому функция плотности вероятности, заданная в вопросе, дает полную вероятность как

Так мы получим значение λ

λ = 1/100

для вероятности от 50 до 150 часов мы имеем

аналогичным образом вероятность меньше 100 будет

Пример: Компьютерное устройство имеет ряд наборов микросхем, срок службы которых определяется функцией плотности вероятности.

затем через 150 часов найдите вероятность того, что нам придется заменить 2 набора микросхем из 5 микросхем.

давайте рассмотрим E_i быть мероприятием по замене i-го чипсета. так что вероятность такого события будет

поскольку все микросхемы работают независимо, поэтому вероятность замены двух будет равна

Кумулятивная функция распределения

  Кумулятивная функция распределения для непрерывной случайной величины определяется с помощью функции распределения вероятностей как

в другой форме

мы можем получить функцию плотности вероятности с помощью функции распределения как

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Ожидание

Компания математическое ожидание или среднее значение непрерывной случайной величины  с функцией плотности вероятности можно определить как

• Для любой вещественнозначной функции непрерывной случайной величины математическое ожидание X будет

где g - реальное значение функция.

1. Для любого неотрицательного непрерывного случайная переменная Y ожидание будет

• Для любых постоянных a и b

E [aX + b] = aE [X] + b

дисперсия

                Дисперсия непрерывной случайной величины X со средним значением параметра или математическим ожиданием  можно определить аналогично тому, как дискретная случайная величина

   Доказательство всего вышесказанного свойства ожидания и дисперсии мы можем легко получить, просто следуя шагам, которые мы имеем в дискретной случайной величине, и определениям ожидания, дисперсии и вероятности в терминах непрерывной случайной величины

Пример: Если функция плотности вероятности непрерывной случайной величины X задана как

затем найдите математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины X.

Решение:  Для данной функции плотности вероятности

ожидаемое значение по определению будет

Теперь, чтобы найти дисперсию, нам потребуется E[X²]

С

so

Единая случайная величина

    Если непрерывная случайная величина X имеет функцию плотности вероятности, заданную формулой

в интервале (0,1) это распределение называется равномерным распределением, а случайная величина - равномерной случайной величиной.

• Для любых констант a и b таких, что 0

Ожидание и дисперсия однородной случайной величины

      Для равномерно непрерывной случайной величины X на общем интервале (α , β) математическое ожидание по определению будет

и дисперсию мы получим, если найдем первый E[X²]

so

Пример: На определенную станцию ​​поезда данного пункта назначения прибывают с периодичностью 15 минут с 7 утра. Для пассажира, который находится на станции в период с 7 до 7.30:5, равномерно распределены, какова вероятность того, что пассажир сядет на поезд в течение 10 минут и какая будет вероятность больше XNUMX минут.

Решение: Поскольку время с 7 до 7.30 равномерно распределяется для пассажира на вокзале, обозначьте это равномерной случайной величиной X. Таким образом, интервал будет (0, 30)

Поскольку для того, чтобы сесть на поезд в течение 5 минут, пассажир должен находиться на станции с 7.10 до 7.15 или с 7.25 до 7.30, поэтому вероятность будет

= 1 / 3

Аналогичным образом, чтобы сесть на поезд после ожидания более 10 минут, пассажир должен находиться на станции с 7 до 7.05 или с 7.15 до 7.20, поэтому вероятность будет

Пример: Найти вероятность однородной случайной величины X, распределенной на интервале (0,10)

для X <3, X> 6 и 3

Решения: поскольку случайная величина задана равномерно распределенной, вероятности будут

Пример: (Парадокс Бертрана) Для любой случайной хорды круга. какова будет вероятность того, что длина этой случайной хорды будет больше, чем сторона равностороннего треугольника, вписанного в тот же круг.

У этой задачи нет зазора относительно случайной хорды, поэтому эта задача была переформулирована в терминах диаметра или угла, а затем был получен ответ как 1/3.

Вывод:

   В этой статье обсуждаются понятие непрерывной случайной величины и ее распределение с функцией плотности вероятности, а также приводится среднее значение статистического параметра и дисперсия для непрерывной случайной величины. Дается единообразная случайная величина и ее распределение с примером, который является типом непрерывной случайной величины, в следующей статье мы сосредоточимся на некоторых важных типах непрерывной случайной величины с подходящими примерами и свойствами. , если вы хотите продолжить чтение, пройдите:

Очерки вероятности и статистики Шаума

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Если вы хотите прочитать больше тем по математике, пройдите Страница математики.