Условная дисперсия и прогнозы: 7 важных фактов

В этой статье условная дисперсия и прогнозы с использованием условного ожидания для различных типов случайных величин с некоторыми примерами, которые мы обсудим.

Условная дисперсия

Условная дисперсия случайной величины X, заданной Y, определяется аналогично условному ожиданию случайной величины X, заданной Y как

(Х|У)=Е[(ХЕ[Х|У])2|Г]

здесь дисперсия - это условное ожидание разницы между случайной величиной и квадратом условного ожидания X, заданного Y, когда задано значение Y.

Соотношение между условная дисперсия и условное ожидание is

(Х|У) = Е[Х2|Y] – (Е[X|Y])2

E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] – E[(E[X|Y])2]

= Е[Х2] – Е[(Е[Х\У])2]

поскольку E[E[X|Y]] = E[X], имеем

(Е[Х|У]) = Е[(Е[Х|У])2] - (БЫВШИЙ])2

это чем-то похоже на отношение безусловной дисперсии и ожидания, которое было

Var (X) = E [X2] - (БЫВШИЙ])2

и мы можем найти дисперсию с помощью условной дисперсии как

Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])

Пример условной дисперсии

Найдите среднее значение и дисперсию числа пассажиров, которые садятся в автобус, если люди, прибывшие на автобусную станцию, распределены по Пуассону со средним значением λt, а первоначальный автобус, прибывший на автобусную станцию, равномерно распределен в интервале (0, T) независимо от людей прибыл или нет.

Решение:

Чтобы найти среднее значение и дисперсию, позвольте для любого времени t, Y - случайная величина для времени прибытия автобуса, а N (t) - количество прибывших.

E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]

в силу независимости Y и N (t)

=λt

поскольку N (t) пуассоновский со средним \lambda t
следовательно

E[N(Y)|Y]=λY

поэтому принятие ожиданий дает

E[N(Y)] = λЭ[Г] = λТ / 2

Чтобы получить Var (N (Y)), воспользуемся формулой условной дисперсии

таким образом

(Н(Г)|Г) = λY

E[N(Y)|Y] = λY

Следовательно, из формулы условной дисперсии

Вар (N (Y)) = E [λГ]+(λY)

=λT/2 + λ2T2/ 12

где мы воспользовались тем, что Var (Y) = T2 / 12.

Дисперсия суммы случайного числа случайных величин

рассмотрим последовательность независимых и тождественных распределенный случайные величины X1,X2,X3,………. и другую случайную величину N, не зависящую от этой последовательности, найдем отклонение суммы этой последовательности как

через

что очевидно с определением дисперсии и условной дисперсии для отдельной случайной величины к сумме последовательности случайных величин, следовательно,

Прогноз

При прогнозировании значение одной случайной величины может быть предсказано на основе наблюдения другой случайной величины, для предсказания случайной величины Y, если наблюдаемая случайная величина равна X, мы используем g (X) как функцию, которая сообщает предсказанное значение, очевидно, что мы попробуйте выбрать g (X), близкую к Y, для этого наилучшим g является g (X) = E (Y | X), для этого мы должны минимизировать значение g, используя неравенство

Это неравенство можно получить как

Однако, учитывая X, E [Y | X] -g (X), будучи функцией X, можно рассматривать как константу. Таким образом,

что дает требуемое неравенство

Примеры прогнозирования

1. Замечено, что рост человека составляет шесть футов, каково было бы предсказание роста его сына после того, как он вырастет, если рост сына, который сейчас составляет x дюймов, нормально распределен со средним значением x + 1 и дисперсией 4.

Решение: пусть X будет случайной величиной, обозначающей рост человека, а Y - случайной величиной для роста сына, тогда случайная величина Y будет

Y = X + e + 1

здесь e представляет собой нормальную случайную величину, не зависящую от случайной величины X, со средним нулевым и четырехкратной дисперсией.

так что прогноз для роста сына

так что рост сына будет 73 дюйма после роста.

2. Рассмотрим пример отправки сигналов из местоположения A и местоположения B, если из местоположения A отправлено значение сигнала s, которое в местоположении B получено по нормальному распределению со средним значением s и дисперсией 1, тогда как если сигнал S, отправленный в A, нормально распределен со средним значением \ mu и дисперсией \ sigma ^ 2, как мы можем предсказать, что значение сигнала R, отправленное из местоположения A, будет получено как r в местоположении B?

Решение: значения сигналов S и R обозначают здесь случайные величины, распределенные нормально, сначала мы находим условную функцию плотности S для R как

этот K не зависит от S, теперь

здесь также C1 и C2 не зависят от S, поэтому значение условной функции плотности равно

C также не зависит от s. Таким образом, сигнал, отправленный из местоположения A как R и принятый в местоположении B как r, является нормальным со средним значением и дисперсией

и среднеквадратичная ошибка для этой ситуации равна

Линейный предсказатель

Каждый раз, когда мы не можем найти совместную функцию плотности вероятности, даже если известно среднее значение, дисперсия и корреляция между двумя случайными величинами, в такой ситуации очень полезен линейный предиктор одной случайной величины по отношению к другой случайной величине, который может предсказать минимум , поэтому для линейного предиктора случайной величины Y относительно случайной величины X мы берем a и b, чтобы минимизировать

Теперь частично дифференцируя по a и b, мы получим

решая эти два уравнения относительно и b, мы получим

таким образом минимизация этого ожидания дает линейный предсказатель как

где средние значения являются соответствующими средними значениями случайных величин X и Y, ошибка для линейного предиктора будет получена с математическим ожиданием

условная дисперсия
условная дисперсия: ошибка в прогнозе

Эта ошибка будет ближе к нулю, если корреляция абсолютно положительная или совершенно отрицательная, то есть коэффициент корреляции равен +1 или -1.

Заключение

Обсуждалась условная дисперсия для дискретной и непрерывной случайной величины с различными примерами, одно из важных применений условного ожидания в прогнозировании также объясняется с помощью подходящих примеров и лучшего линейного предиктора, если вам требуется дальнейшее чтение, перейдите по ссылкам ниже.

Дополнительную информацию о математике см. В нашем Страница математики

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH

Наверх