Условное ожидание: 7 фактов, которые вы должны знать

Для случайных величин, зависящих друг от друга, требуется вычисление условных вероятностей, которые мы уже обсуждали, теперь мы обсудим еще несколько параметров для таких случайных величин или экспериментов, как условное ожидание и условная дисперсия для различных типов случайных величин.

Условное ожидание

   Определение функции массы условной вероятности дискретной случайной величины X при заданном Y имеет вид

здесь pY(y)>0 , поэтому условное математическое ожидание для дискретной случайной величины X при заданном Y, когда pY (y)>0

в вышеупомянутом ожидании вероятность является условной вероятность.

  Аналогичным образом, если X и Y непрерывны, то условная функция плотности вероятности случайной величины X, заданной Y, равна

где f (x, y) - совместная функция плотности вероятности и для всех yfY(y)> 0, поэтому условное ожидание для случайной величины X при заданном y будет

для всех yfY(у)> 0.

   Как мы знаем, все свойства вероятности применимы к условным Вероятность такая же, как и для условного ожидания, все свойства математического ожидания удовлетворяются условным ожиданием, например, условное ожидание функции случайной величины будет

а сумма случайных величин в условном ожидании будет

Условное ожидание суммы биномиальных случайных величин

    Чтобы найти условное математическое ожидание суммы биномиальных случайных величин X и Y с параметрами n и p, которые независимы, мы знаем, что X+Y также будет биномиальной случайной величиной с параметрами 2n и p, поэтому для случайной величины X при X+Y=m условное математическое ожидание будет получено путем вычисления вероятность

поскольку мы знаем это

таким образом, условное ожидание X при X + Y = m равно

Пример:

Найдите условное ожидание

если сустав функция плотности вероятности непрерывных случайных величин X и Y задаются как

решение:

Для вычисления условного ожидания нам потребуется условная функция плотности вероятности, поэтому

поскольку для непрерывной случайной величины условный ожидание

следовательно, для данной функции плотности условное ожидание будет

Ожидание условным ожиданием || Ожидание условным ожиданием

                Мы можем рассчитать математическое ожидание с помощью условного ожидания X при заданном Y как

для дискретных случайных величин это будет

который может быть получен как

и для непрерывного случайного числа аналогично можно показать

Пример:

                Человек оказался в ловушке в своем здании под землей, так как вход заблокирован из-за большой нагрузки, к счастью, есть три трубопровода, из которых он может выйти: первая труба безопасно выведет его через 3 часа, вторая - через 5 часов и третий трубопровод - через 7 часов. Если какой-либо из этих трубопроводов выбран им с одинаковой вероятностью, то в какое время он благополучно выйдет на улицу.

Решение:

Пусть X будет случайной величиной, которая обозначает время в часах, пока человек благополучно не вышел, а Y обозначает трубку, которую он выбирает изначально, поэтому

с

Если человек выбирает вторую трубку, он проводит в ней 5 часов, но выходит на улицу в ожидаемое время.

так что ожидание будет

Ожидание суммы случайного числа случайных величин с использованием условного ожидания

                Пусть N - случайное число случайной величины, а сумма случайных величин равна     тогда ожидание  

с

as

таким образом

Корреляция двумерного распределения

Если функция плотности вероятности двумерной случайной величины X и Y равна

в котором

то корреляция между случайной величиной X и Y для двумерного распределения с функцией плотности равна

поскольку корреляция определяется как

поскольку ожидание с использованием условного ожидания равно

для нормального распределения условное распределение X при заданном Y имеет среднее значение

теперь ожидание XY с учетом Y равно

это дает

следовательно

Дисперсия геометрического распределения

    В геометрическом распределении давайте проведем последовательные независимые испытания, которые приведут к успеху с вероятностью p. Если N представляет время первого успеха в этой последовательности, тогда дисперсия N, как по определению, будет

Пусть случайная величина Y = 1, если первое испытание закончилось успехом, и Y = 0, если первое испытание закончилось неудачей, теперь, чтобы найти здесь математическое ожидание, мы применяем условное ожидание как

с

если успех в первом испытании, то N = 1 и N2= 1, если неудача произошла в первом испытании, то для получения первого успеха общее количество испытаний будет иметь такое же распределение, как 1, то есть первое испытание, которое закончилось неудачей, плюс необходимое количество дополнительных испытаний, то есть

Таким образом, ожидание будет

так как ожидание геометрического распределения равно so

следовательно

и

E

поэтому дисперсия геометрического распределения будет

Ожидание минимума последовательности однородных случайных величин

   Последовательность равномерных случайных величин U1, ОНА2 … .. на интервале (0, 1) и N определяется как

то для математического ожидания N для любого x ∈ [0, 1] значение N

мы положим математическое ожидание N как

чтобы найти математическое ожидание, мы используем определение условного ожидания для непрерывной случайной величины.

теперь кондиционирование для первого члена последовательности  у нас есть

здесь мы получаем

оставшееся количество однородных случайных величин такое же в точке, где первое равномерное значение - y, в начале, а затем собирались добавить однородные случайные величины, пока их сумма не превысит x - y.

поэтому, используя это значение ожидания, значение интеграла будет

если продифференцировать это уравнение

и

теперь интеграция дает

следовательно

значение k = 1, если x = 0, поэтому

m

и m (1) = e, ожидаемое количество однородных случайных величин в интервале (0, 1), которые необходимо добавить, пока их сумма не превысит 1, равно e

Вероятность с использованием условного ожидания || вероятности с использованием кондиционирования

   Мы можем найти вероятность также, используя условное ожидание, такое как ожидание, которое мы нашли с условным ожиданием, чтобы оно учитывало событие и случайную величину X как

из определения этой случайной величины и ожидания ясно

теперь по условному ожиданию в любом смысле мы имеем

Пример:

вычислить функция вероятности случайной величины X , если U — равномерная случайная величина на интервале (0,1), и рассмотрим условное распределение X при заданном U=p как биномиальное с параметрами n и p.

Решение:

Для значения U вероятность по условию равна

у нас есть результат

так что мы получим

Пример:

какова вероятность X <Y, Если X и Y - непрерывные случайные величины с функциями плотности вероятности fX и еY соответственно.

Решение:

Используя условное ожидание и условную вероятность

as

Пример:

Вычислить распределение суммы непрерывных независимых случайных величин X и Y.

Решение:

Чтобы найти распределение X + Y, мы должны найти вероятность суммы, используя следующее условие:

Вывод:

Условное ожидание для дискретной и непрерывной случайной величины с различными примерами, рассматривающими некоторые из типов этих случайных величин, обсуждаемых с использованием независимой случайной величины и совместного распределения в различных условиях. примеры, если вам нужно продолжить чтение, просмотрите книги ниже или дополнительную статью о вероятности, пожалуйста, следуйте нашим Страницы математики.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH

Наверх