Условное распределение: 7 интересных фактов, которые нужно знать

Условное распространение

   Очень интересно обсудить условный случай распределения, когда две случайные величины следуют распределению, удовлетворяющему друг другу, сначала мы кратко рассмотрим условное распределение как в случае случайных величин, так и дискретных и непрерывных, а затем, изучив некоторые предпосылки, мы сосредоточимся на условные ожидания.

Дискретное условное распределение

     С помощью совместной функции массы вероятностей в совместном распределении мы определяем условное распределение для дискретных случайных величин X и Y, используя условную вероятность для X, заданного Y, как распределение с функцией массы вероятности

при условии, что вероятность знаменателя больше нуля, аналогично мы можем записать это как

в совместной вероятности, если X и Y являются независимыми случайными величинами, то это превратится в

таким образом, дискретное условное распределение или условное распределение для дискретных случайных величин X при заданном Y является случайной величиной с указанной выше функцией вероятности и массы аналогичным образом для Y при заданном X, который мы можем определить.

Пример дискретного условного распределения

  1. Найдите функция массы вероятности случайной величины X при Y = 1, если совместная функция массы вероятности для случайных величин X и Y имеет некоторые значения как

p (0,0) = 0.4, p (0,1) = 0.2, p (1,0) = 0.1, p (1,1) = 0.3

Теперь, прежде всего, для значения Y = 1 имеем

поэтому, используя определение функции массы вероятности

у нас есть

и

  • получить условное распределение X при X + Y = n, где X и Y - распределения Пуассона с параметрами λ1 и λ2 а X и Y - независимые случайные величины

Поскольку случайные величины X и Y независимы, условное распределение будет иметь функцию массы вероятности как

так как сумма случайных величин Пуассона снова пуассонова, поэтому

таким образом, условное распределение с указанной выше функцией вероятности и масс будет условным распределением для таких распределений Пуассона. Вышеупомянутый случай можно обобщить для более чем двух случайных величин.

Непрерывное условное распределение

   Непрерывное условное распределение случайной величины X при уже определенном y является непрерывным распределением с функцией плотности вероятности

знаменатель плотности больше нуля, что для непрерывной функции плотности равно

таким образом, вероятность такой условной функции плотности равна

Аналогично дискретному, если X и Y независимы в непрерывном, то также

и поэтому

так что мы можем записать это как

Пример непрерывного условного распределения

  1. Вычислить условную функцию плотности случайной величины X с учетом Y, если совместная функция плотности вероятности с открытым интервалом (0,1) задается выражением

Если для случайной величины X задано Y в пределах (0,1), то, используя указанную выше функцию плотности, мы имеем

  • Рассчитайте условную вероятность

если совместная функция плотности вероятности дается выражением

Чтобы сначала найти условную вероятность, нам потребуется условная функция плотности, поэтому по определению она будет

теперь используя эту функцию плотности в вероятности условная возможность is

Условное распределение двумерного нормального распределения

  Мы знаем, что двумерное нормальное распределение нормальных случайных величин X и Y с соответствующими средними и дисперсиями в качестве параметров имеет совместную функцию плотности вероятности

Условное распространение
Условный распределение двумерного нормального распределение

таким образом, чтобы найти условное распределение для такого двумерного нормального распределения для X, заданного Y, определяется, следуя условной функции плотности непрерывной случайной величины и указанной выше совместной функции плотности, мы имеем

Условное распространение
Условное распределение двумерного нормального распределения

Наблюдая за этим, мы можем сказать, что это нормально распределено со средним значением

и дисперсия

аналогичным образом условная функция плотности для Y с уже определенным X будет просто менять местами параметры X и Y,

Маргинальную функцию плотности для X мы можем получить из приведенной выше условной функции плотности, используя значение константы

Условное распространение
Условное распределение двумерного нормального распределения

подставим в интеграл

функция плотности теперь будет

поскольку общая стоимость

по определению вероятности, поэтому функция плотности теперь будет

которая является не чем иным, как функцией плотности случайной величины X с обычным средним значением и дисперсией в качестве параметров.

Совместное вероятностное распределение функции случайных величин

  Пока мы знаем совместное распределение вероятностей двух случайных величин, теперь, если у нас есть функции таких случайных величин, то каким будет совместное распределение вероятностей этих функций, как вычислить плотность и функцию распределения, потому что у нас есть реальные жизненные ситуации, когда мы имеют функции случайных величин,

Если Y1 и Y2 - функции случайных величин X1 и Х2 соответственно, которые совместно непрерывны, то совместная непрерывная функция плотности этих двух функций будет

в котором якобиан

и Y1 =g1 (X1, ИКС2) и Y2 =g2 (X1, ИКС2) для некоторых функций g1 и г2 . Здесь g1 и г2 удовлетворяет условиям якобиана как непрерывный и имеет непрерывные частные производные.

Теперь вероятность для таких функций случайных величин будет

Примеры совместного вероятностного распределения функции случайных величин

  1. Найти совместную функцию плотности случайных величин Y1 =X1 +X2 и Y2=X1 -X2 , где X1 и Х2 являются совместно непрерывной с совместной функцией плотности вероятности. также обсудите различный характер распределения.

Здесь мы сначала проверим якобиан

так как g1(x1, Икс2) = х1 + х2  и г2(x1, Икс2) = х1 - Икс2 so

упрощая Y1 =X1 +X2 и Y2=X1 -X2 , для значения X1 = 1/2 (Y1 +Y2 ) и X2 = Y1 -Y2 ,

если эти случайные величины являются независимыми однородными случайными величинами

или если эти случайные величины являются независимыми экспоненциальными случайными величинами с обычными параметрами

или если эти случайные величины являются независимыми нормальными случайными величинами, то

  • Если X и Y - независимые стандартные нормальные переменные, как указано
Условное распространение

рассчитать совместное распределение для соответствующих полярных координат.

Преобразуем обычным преобразованием X и Y в r и θ как

поэтому частные производные этих функций будут

поэтому якобиан, использующий эти функции, равен

если обе случайные величины X и Y больше нуля, то условная совместная функция плотности равна

теперь преобразование декартовой координаты в полярную координату с помощью

поэтому плотность вероятности функция для положительных значений будет

для разных комбинации X и Y функции плотности аналогичным образом

теперь, исходя из среднего значения вышеуказанных плотностей, мы можем сформулировать функцию плотности как

и функция предельной плотности из этой совместной плотности полярных координат на интервале (0, 2π)

  • Найти совместную функцию плотности для функции случайных величин

U = X + Y и V = X / (X + Y)

где X и Y — гамма-распределение с параметрами (α + λ) и (β + λ) соответственно.

Используя определение гамма-распределение и совместной функции распределения функция плотности для случайной величины X и Y будет

рассматривать данные функции как

g1 (х, у) = х + у, g2 (х, у) = х / (х + у),

так что дифференцирование этих функций

теперь якобиан

после упрощения данных уравнений переменные x = uv и y = u (1-v) функция плотности вероятности имеет вид

мы можем использовать соотношение

  • Вычислить совместную функцию плотности вероятности для

Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- ИКС2 , Y3 =X1 - ИКС3

где случайные величины X1, X2, X3 — стандартные нормальные случайные величины.

Теперь давайте вычислим якобиан, используя частные производные от

Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- ИКС2 , Y3 =X1 - ИКС3

as

упрощение для переменных X1 , ИКС2 и Х3

X1 = (Y1 + Д2 + Д3) / 3, Х2 = (Y1 - 2 года2 + Д3) / 3, Х3 = (Y1 + Д2 -2 года3) / 3

мы можем обобщить совместную функцию плотности как

так что у нас есть

для нормальной переменной совместная функция плотности вероятности

следовательно

где индекс

вычислить совместную функцию плотности Y1 …… Гn и маргинальная функция плотности для Yn в котором

и Хi - независимые одинаково распределенные экспоненциальные случайные величины с параметром λ.

для случайных величин вида

Y1 =X1 , Y2 =X1 + X2 , ……, Йn =X1 + …… + Xn

якобиан будет иметь вид

и, следовательно, его значение равно единице, а совместная функция плотности для экспоненциальной случайной величины

а значения переменной Xi будет

поэтому совместная функция плотности

Теперь, чтобы найти функцию предельной плотности Yn мы будем интегрировать один за другим как

и

так же

если мы продолжим этот процесс, мы получим

которая является функцией предельной плотности.

Вывод:

Компания условное распределение для дискретной и непрерывной случайной величины с различными примерами, рассматривающими некоторые из обсуждаемых типов этих случайных величин, где важную роль играет независимая случайная величина. Кроме того, сустав распределение для функции совместных непрерывных случайных величин также объяснено с подходящими примерами, если вам требуется дальнейшее чтение, перейдите по ссылкам ниже.

Дополнительную информацию о математике см. В нашем Страница математики

Википедияhttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH

Наверх