9 важных решений по теории цепей -

[Специально подобранные вопросы для GATE, JEE, NEET]

В серии «Теория схем» мы познакомились с некоторыми фундаментальными, но важными правилами, формулами и методами. Давайте выясним некоторые их применения и разберемся с ними более четко. Проблемы будут в основном касаться - KCL, KVL, теоремы Тевенина, теоремы Нортона, теоремы суперпозиции, теоремы о максимальной передаче мощности.

Руки помощи для решения проблем по теории цепей:

Теория схем: 1. Определите максимальную мощность, которую можно передать на нагрузку R_L для приведенной ниже схемы. Примените необходимые теоремы теории схем.

Решение: Удалите нагрузочный резистор из схемы и источника напряжения, чтобы узнать эквивалентное сопротивление.

Итак, сопротивление или импеданс (цепь переменного тока) цепи через открытую клемму:

Z_TH= 2 || j2 = (2 x j2) / (2 + j2) = j2 / (1 + j)

Или, Z_TH = 2 ∠90^o / √2 ∠45^o

Или, Z_TH= √2 ∠45^o

Теперь посчитаем ток через резистор j2 Ом.

я = 4 ∠0^o / (2 + j2)

Или I = 2 / (1 + j) = √2 ∠ - 45^o

Эквивалентное напряжение Thevenin составляет V_TH = I * j2.

Или, V_TH= 2 √ 2 ∠ 45^oV

Теперь мы можем перерисовать схему в эквивалентной схеме Тевенина.

Теперь из теоремы о передаче мощности R_L = | Z_TH| = √2 Ом для полной мощности.

Теперь ток через нагрузку I_L V =_TH / (Р_TH + R_L)

Или я_L = 2 √ 2 ∠ 45^o / (√2 + √2 ∠45^o)

ИЛИ, я_L = 2 ∠45^o / (1 + 1∠45^o)

ИЛИ, я_L = 2 ∠45^o / [1 + (1 + √2) + (j / √2)]

ИЛИ, я_L = 1.08 ∠22.4^o A

|I_L| = 1.08 Итак, максимальная мощность: | I_L²| р_L = (1.08 x 1.08) x √2 = 1.65 Вт.

Законы Кирхгофа: KCL, KVL

Теория схем: 2. Найдите эквивалентное сопротивление Нортона на выводе AB для указанной ниже цепи.

Решение: Сначала подадим источник напряжения на разрыв цепи на вывод AB. Назовем его V_DC и предположим, что я_DC вытекает из него.

Теперь применим текущий закон Кирхгофа для узлового анализа в узле а. Мы можем написать,

(V_dc - 4I) / 2 + (V_dc / 2) + (В_dc / 4) = я_dc

Здесь I = V_dc/ 4

Или 4I = V_dc

Опять же, (V_dc- V_dc) / 2 + В_dc / 2 + В_dc / 4 = Я_dc

Или, 3В_dc / 4 = Я_dc

И, V_dc / Я_dc = R_N

Или, R_N = 4/3 = 1.33 Ом.

Таким образом, эквивалентное сопротивление Norton составляет 1.33 Ом.

Теория схем: 3. Найдите значение R1 в схеме замещения треугольником данной сети, соединенной звездой.

Решение: Эту проблему легко решить, используя формулу преобразования звезды в треугольник.

Предположим, что R_a = 5 Ом, R_b = 7.5 Ом, а R_c = 3 Ом.

Теперь, применяя формулу,

R₁ = R_a + R_c + (р_a * Р_c / Р_b)

Или, R₁ = 5 + 3 + (5 х 3) / 7.5

Или, R₁ = 5 + 3 + 2 = 10 Ом.

Таким образом, сопротивление R1 Delta Equivalent: 10 Ом.

Теория схем: 4. Найдите ток, протекающий через резистор R2 для схемы, представленной ниже.

Решение: Мы должны использовать идею источника преобразование и напряжение Кирхгофа Закон, чтобы узнать ответ.

Предположим, что через резистор R2 (резистор 1 кОм) протекает ток I-ампер. Можно сказать, что ток через сопротивление 2 кОм будет (10 - I) ампер (поскольку ток от источника 10 А будет 10 А). Точно так же ток из предложения 2 А будет 2 А, и, следовательно, ток через сопротивление 4 кОм будет (I - 2) Ампера.

Теперь применим закон Кирхгофа по напряжению в контуре. Мы можем написать

Я х 1 + (I - 2) х 4 + 3 х I - 2 х (10 - I) = 0

Или 10I - 8-20 = 0

Или I = 28/10

Или I = 2.8 мА

Итак, ток через резистор R2 составляет 2.8 мА.

Теория схем: 5. Если эквивалентное сопротивление для бесконечной параллельной лестницы, показанное на изображении ниже, равно R_eq, вычислить R_eq / R. Также найдите значение R_eq при R = 1 Ом.

Решение: Для решения задачи нужно знать эквивалент сопротивление бесконечности параллельная лестница. Это дается Р_E = R x (1 + √5) / 2.

Итак, мы можем заменить схему на следующую.

Эквивалентное сопротивление здесь: R_eq = Р + Р_E = R + 1.618R

Или, R_eq / R = 2.618

А когда R = 1 Ом, R_eq = 2.618 x 1 = 2.618 Ом.

Теория схем: 6. Напряжение питания источника, В_s(t) = V Cos100πt. Источник имеет внутреннее сопротивление (4 + j3) Ом. Выясните сопротивление чисто резистивной нагрузки для передачи максимальной мощности.

Решение: Мы знаем, что мощность, передаваемая для чисто резистивной цепи, является средней передаваемой мощностью.

Итак, R_L = √ (R_s² + X_s²)

Или, R_L = √ (4²+ 3²)

Или, R_L = 5 ом.

Итак, нагрузка будет 5 Ом.

Теория схем: 7. Найдите эквивалентное сопротивление Тевенина между узлами 1 и 2 для данной цепи.

Решения: Чтобы найти эквивалентный импеданс Thevenin, нам нужно подключить источник напряжения 1 вольт в месте узлов 1 и 2. Затем мы рассчитаем текущее значение.

Итак, Z_TH = 1 / я_TH

Z_TH это желаемое сопротивление, которое мы должны найти. я_TH ток, протекающий от источника напряжения.

Теперь применив закон Кирхгофа в узле B,

i_AB + 99i_b - Я_TH =0

Или я_AB + 99i_b = Я_TH ——- (я)

Применяя KCL в узле A,

i_b - i_A - i_AB = 0

или, я_b = я_A + я_AB——- (ii)

Из уравнений (i) и (ii) мы можем записать,

i_b - i_A + 99i_b = Я_TH

Или 100i_b - i_A = Я_TH ——- (iii)

Теперь применим закон напряжения Кирхгофа на внешнем контуре,

10 х 103i_b = 1

Или я_b = 10^-4 A.

А также,

10 х 103i_b = - 100i_A

Или я_A = - 100i_A

Из уравнения (iii) мы можем записать,

100i_A + 100i_b = Я_TH

Или я_TH = 200i_b

Или я_TH = 200 x 10^-4 = 0.02

Итак, Z_TH = 1 / я_TH = 1 / 0.02 = 50 Ом.

S, полное сопротивление между узлами 1 и 2 составляет 50 Ом.

Теория схем: 8. Ниже представлена сложная схема. Предположим, что оба источника напряжения схемы находятся в фазе друг с другом. Теперь схема виртуально разделена на две части A и B пунктирными линиями. Вычислите значение R в этой цепи, для которой максимальная мощность передается от части A к части B.

Решение: Проблему можно решить в несколько шагов.

Сначала мы находим текущий i через R.

Или i = (7 / (2 - R) A

Далее ток через источник 3В,

i₁ = я - (3 / -j)

Или я₁ = я - 3j

Затем мы рассчитываем мощность, передаваемую от контура B к A.

P = я²р + я₁ х 3

Или P = [7 / (2 - R)]² x R + [7 / (2 - R)] x 3 - - (i)

Теперь условие для передачи максимальной мощности: dP / dR = 0.

Итак, дифференцируя уравнение (i) по R, мы можем записать:

[7 / (2 - R)]² + 98R / (2 + R)² - 21 / (2 + П)² = 0

Или 49 x (2 + R) - 98R - 21 x (2 + R)² = 0

Или 98 + 42 = 49R + 21R

Или, R = 56/70 = 0.8 Ом

Таким образом, значение R для максимальной передачи мощности от A к B составляет 0.8 Ом.

Проверьте: Теорема о передаче максимальной мощности

Теория схем: 9. Найдите значение сопротивления для передачи максимальной мощности. Также узнайте максимальную передаваемую мощность.

Решение: На первом этапе снимите нагрузку и рассчитайте сопротивление Тевенина.

V_TH = В * Р₂ / (Р₁ + R₂)

Или, V_TH = 100*20/(20+30)

Или, V_TH = 4 V

Резисторы подключены параллельно.

Итак, R_TH = R₁ || р₂

Или, R_TH = 20 || 30

Или, R_TH = 20*30/(20+30)

Или, R_TH = 12 Ом

Теперь схема перерисована с использованием эквивалентных значений. Для максимальной передачи мощности R_L = R_TH = 12 Ом.

Максимальная мощность P_MAX V =_TH² / 4 р_TH.

Или, P_MAX = 1002 / (4 × 12)

Или, P_MAX = 10000 / 48

Или, P_MAX = 208.33 Вт

Таким образом, максимальная передаваемая мощность составила 208.33 Вт.

Теория схем: 10 Рассчитайте нагрузку для передачи максимальной мощности. Узнайте также передаваемую мощность.

Решение:

На первом этапе снимите нагрузку и теперь рассчитайте напряжение Тевенина.

Итак, V_AB V =_A - V_B

V_A выглядит как: V_A = В * Р₂ / (Р₁ + R₂)

Или, V_A = 60*40/(30+40)

Или, V_A = 34.28 В

V_B приходит как:

V_B = В * Р₄ / (Р₃ + R₄)

Или, V_B = 60*10/(10+20)

Или, V_B = 20 В

Итак, V_AB V =_A - V_B

Или, V_AB = 34.28 - 20 = 14.28 v

На следующем этапе расчет сопротивления. Как гласит правило, снимите напряжение и закоротите соединение.

R_TH = R_AB = [{R₁R₂ / (Р₁+ R₂)} + {R₃R₄/ (Р₃ + R₄)}]

ИЛИ, R_TH = [{30 × 40 / (30 + 40)} + {20 × 10 / (20 + 10)}]

ИЛИ, R_TH = 23.809 Ом

Теперь снова проведите связь с рассчитанными значениями. Для максимальной передачи мощности R_L = R_TH = 23.809 Ом.

Значение нагрузки будет = 23.809 Ом.

Максимальная мощность P_MAX V =_TH² / 4 р_TH.

Или, P_MAX = 14.282 / (4 × 23.809)

Или, P_MAX = 203.9184 / 95.236

Или, P_MAX = 2.14 Вт

Таким образом, максимальная передаваемая мощность составила 2.14 Вт.