13 фактов о неравенстве Чебышева и центральной предельной теореме

В теории вероятностей Неравенство Чебышева и центральная предельная теорема имеет дело с ситуациями, когда мы хотим найти распределение вероятностей суммы большого числа случайных величин в приблизительно нормальном состоянии. Прежде чем приступить к рассмотрению предельных теорем, мы видим некоторые из неравенств, которые обеспечивают оценки вероятностей, если среднее значение и дисперсия известны.

Неравенство Маркова

Неравенство Маркова для случайной величины X, которая принимает только положительное значение при a> 0, имеет вид

чтобы доказать это при a> 0, рассмотрим

С

теперь, ожидая этого неравенства, получаем

причина в том

что дает неравенство Маркова при a> 0 при

Неравенство Чебышева

 Для конечного среднее значение и дисперсия случайной величины X неравенство Чебышева для k>0

где сигма и мю представляют собой дисперсию и среднее значение случайной величины, чтобы доказать это, мы используем Неравенство Маркова как неотрицательная случайная величина

для значения a как постоянного квадрата, следовательно,

это уравнение эквивалентно

так же ясно

Примеры неравенств Маркова и Чебышева:

  1. Если производство конкретного товара берется в качестве случайной переменной для недели со средним значением 50, найдите вероятность производства, превышающего 75 за неделю, и какова будет вероятность, если производство за неделю будет между 40 и 60, при условии, что дисперсия для этого неделя 25?

Решение: Рассмотрим случайную величину X для производства предмета в течение недели, а затем, чтобы найти вероятность производства, превышающую 75, мы будем использовать Неравенство Маркова as

Теперь вероятность производства от 40 до 60 с дисперсией 25 мы будем использовать Неравенство Чебышева as

so

это показывает вероятность на неделю, если производство составляет от 40 до 60, составляет 3/4.

2. Покажите, что неравенство Чебышева который обеспечивает верхнюю границу вероятности, не особенно приближается к фактическому значению вероятности.

Решение:

Предположим, что случайная величина X равномерно распределена со средним значением 5 и дисперсией 25/3 на интервале (0,1), затем неравенство Чебышева мы можем написать

но реальная вероятность будет

что также далеко от фактической вероятности, если мы возьмем случайную величину X как нормально распределенную со средним значением и дисперсией, тогда Неравенство Чебышева будет

но реальная вероятность

Слабый закон больших чисел

После слабого закона для последовательности случайных величин будет результат, что Неравенство Чебышева может использоваться как инструмент для доказательства, например, чтобы доказать

если дисперсия равна нулю, то единственными случайными величинами, имеющими дисперсию, равную 0, являются те, которые постоянны с вероятностью 1, поэтому Неравенство Чебышева для n больше или равно 1

as

по непрерывности вероятности

что доказывает результат.

чтобы доказать это, мы предполагаем, что дисперсия также конечна для каждой случайной величины в последовательности, поэтому математическое ожидание и дисперсия

теперь из Неравенство Чебышева верхняя граница вероятности как

который для n, стремящегося к бесконечности, будет

Центральная предельная теорема

Компания Центральная предельная теорема является одним из важных результатов в теории вероятностей, поскольку он дает распределение суммы больших чисел, которое является приблизительно нормальным. распределение В дополнение к методу нахождения приближенных вероятностей для сумм независимых случайных величин центральная предельная теорема также показывает, что эмпирические частоты столь многих естественных популяций демонстрируют колоколообразные средние нормальные кривые.Прежде чем дать подробное объяснение этой теоремы, мы воспользуемся результатом

«Если последовательность случайных величин Z1,Z2,…. имеют функцию распределения и производящую функцию момента как FZn И мzn становятся

Центральная предельная теорема: Для последовательности одинаково распределенных и независимых случайных величин X1,X2,……. каждый из которых имеет среднее значение μ и дисперсии σ2, то распределение суммы

стремится к стандартной нормали, поскольку n стремится к бесконечности, чтобы a было действительными значениями

Доказательство: чтобы доказать результат, рассмотрите среднее значение как ноль, а дисперсию как единицу, т.е. μ = 0 & σ2= 1 и функция, генерирующая момент для Xi существует и имеет конечные значения, поэтому производящая функция момента для случайной величины Xi/ √n будет

Тогда функция, производящая момент для суммы ΣXi/ √n будет

Теперь возьмем L (t) = logM (t)

so

чтобы показать доказательство, мы сначала показываем

показывая его эквивалентную форму

с

следовательно, это показывает результат для среднего нуля и дисперсии 1, и тот же самый результат следует для общего случая, также взяв

и для каждого а у нас есть

Пример центральной предельной теоремы

Чтобы рассчитать расстояние в световых годах до звезды от лаборатории астронома, он использует некоторые методы измерения, но из-за изменения атмосферы каждый раз измеренное расстояние не является точным, но с некоторой ошибкой, поэтому, чтобы найти точное расстояние, которое он планирует до непрерывно наблюдать в последовательности и среднее из этих расстояний как расчетное расстояние.Если он считает, что значения измерений одинаково распределены и независимая случайная величина со средним d и дисперсией 4 световых года, найдите количество измерений, которые необходимо выполнить, чтобы получить ошибку 0.5. в оценочной и фактической стоимости?

Решение: Рассмотрим измерения как независимые случайные величины в последовательности X1,X2,…….ИКСn так что Центральная предельная теорема мы можем написать

что является приближением к стандарту нормальное распределение поэтому вероятность будет

поэтому, чтобы получить точность измерения на уровне 95 процентов, астроном должен измерить n * расстояний, где

поэтому из таблицы нормального распределения мы можем записать это как

где говорится, что измерение должно быть выполнено 62 раза, это также можно наблюдать с помощью Неравенство Чебышева принимая

поэтому неравенство приводит к

следовательно, для n = 16 / 0.05 = 320, что дает уверенность в том, что при измерении расстояния до звезды от лаборатории наблюдений будет ошибка всего 5%.

2. Число принятых студентов на инженерные курсы распределено по Пуассону со средним значением 100, было решено, что если число принятых студентов составляет 120 или более, преподавание будет проводиться в двух разделах, в противном случае только в одном разделе, какова будет вероятность того, что будет будет два раздела на курс?

Решение: Следуя распределению Пуассона, точное решение будет

что, очевидно, не дает конкретного числового значения. Если мы рассмотрим случайную величину X как допущенные учащиеся, то Центральная предельная теорема

которые могут быть

что является числовым значением.

3. Подсчитайте вероятность того, что сумма на десяти кубиках при броске будет между 30 и 40, включая 30 и 40?

Решение: рассматривая кубик как Xi для десяти значений i. среднее значение и дисперсия будут

таким образом, следуя Центральная предельная теорема мы можем написать

что и есть требуемая вероятность.

4. Для равномерно распределенных независимых случайных величин Xi на интервале (0,1) какова будет аппроксимация вероятности

Решение: из распределения Unifrom мы знаем, что среднее значение и дисперсия будут

Теперь используя Центральная предельная теорема мы можем

таким образом, сумма случайной величины составит 14 процентов.

5. Найдите вероятность того, что оценщик экзамена поставит оценки, будет 25 экзаменов в начальные 450 минут, если есть 50 экзаменов, время оценки которых является независимым со средним значением 20 минут и стандартным отклонением 4 минуты.

Решение: примите во внимание время, необходимое для оценки экзамена по случайной величине Xi так что случайная величина X будет

так как это задание на 25 экзаменов длится 450 минут, поэтому

здесь используя Центральная предельная теорема

что и есть требуемая вероятность.

Центральная предельная теорема для независимых случайных величин

Для последовательности, которая не является одинаково распределенной, но имеет независимые случайные величины X1,X2, ……. каждый из которых имеет среднее значение μ и дисперсию σ2 при условии, что это удовлетворяет

  1. каждый Xi равномерно ограничен
  2. сумма дисперсий бесконечна, то

Сильный закон больших чисел

Сильный закон больших чисел является очень важной концепцией теория вероятности в котором говорится, что среднее значение последовательности обычно распределенных случайных величин с вероятностью единица будет сходиться к среднему значению того же распределения

заявление: Для последовательности тождественно распределенный и независимые случайные величины X1,X2, ……. каждый из которых имеет конечное среднее с вероятностью единица, тогда

Доказательство: чтобы доказать это, рассмотрим, что среднее значение каждой случайной величины равно нулю, а ряд

теперь для этого рассмотрите силу этого как

после разложения членов правой части мы получим члены вида

поскольку они независимы, среднее значение будет

с помощью комбинации пары расширение серии теперь будет

с

so

мы получаем

это говорит о неравенстве

следовательно

По сходимости ряда, поскольку вероятность каждой случайной величины равна единице, поэтому

с

если среднее значение каждой случайной величины не равно нулю, то с отклонением и вероятностью единица мы можем записать его как

or

требуемый результат.

Одностороннее неравенство Чебышева

Одностороннее неравенство Чебышева для случайной величины X с нулевым средним и конечной дисперсией, если a> 0, равно

Неравенство Чебышева
неравенство Чебышева

чтобы доказать это, рассмотрим при b> 0 случайную величину X как

который дает

так что используя Неравенство Маркова

Неравенство Чебышева
односторонний чебышев

что дает требуемое неравенство. для среднего и дисперсии мы можем записать это как

Далее это можно записать как

Пример:

Найдите верхнюю границу вероятности того, что продукция компании, которая распределяется случайным образом, будет не менее 120, если продукция этой конкретной компании имеет среднее значение 100 и дисперсию 400.

Решение:

Использование одностороннего чебышевское неравенство

Таким образом, это дает вероятность производства в течение недели, по крайней мере, 120, составляет 1/2, теперь граница для этой вероятности будет получена с использованием Неравенство Маркова

который показывает верхнюю границу вероятности.

Пример:

Сотни пар берутся из двухсот человек, у которых есть сто мужчин и сто женщин. Найдите верхнюю границу вероятности того, что самое большее тридцать пар будут состоять из мужчин и женщин.

Решение:

Пусть случайная величина Xi as

так что пара может быть выражена как

Поскольку каждый мужчина с равной вероятностью может быть в паре с оставшимися людьми, из которых сотня - женщины, среднее значение

точно так же, если i и j не равны, то

as

следовательно, у нас есть

используя неравенство Чебышева

что говорит о том, что вероятность объединения 30 мужчин и женщин меньше шести, поэтому мы можем улучшить оценку, используя одностороннее неравенство Чебышева

Граница Чернова

Если функция, производящая момент, уже известна, то

as

таким же образом мы можем записать для t <0 как

Таким образом, границу Чернова можно определить как

это неравенство обозначает все значения t, как положительные, так и отрицательные.

Границы Чернова для стандартной нормальной случайной величины

Границы Чернова для стандарта нормальная случайная величина производящая функция моментов которой

is

поэтому минимизация этого неравенства и степенных членов правой части дает при a> 0

а при a <0 это

Оценки Чернова для случайной величины Пуассона

Оценки Чернова для случайной величины Пуассона, производящая функция момента которой

is

поэтому минимизация этого неравенства и степенных членов правой части дает при a> 0

и это было бы

Пример границ Чернова

В игре, если игрок с равной вероятностью либо выиграет, либо проиграет, независимо от любого предыдущего счета, найдите границу Чернова для вероятности

Решение: Пусть Xi обозначают выигрыш игрока, тогда вероятность будет

для последовательности из n игр пусть

поэтому производящая функция момента будет

здесь, используя разложения экспоненциальных членов

так что у нас есть

теперь применяя свойство функции, производящей момент

Это дает неравенство

следовательно

Вывод:

Были обсуждены неравенства и предельная теорема для больших чисел, а также были взяты обоснованные примеры для границ вероятностей, чтобы получить представление об этой идее. концепция легко, если вам требуется дальнейшее чтение, просмотрите книги ниже или для получения дополнительной статьи о вероятности, пожалуйста, следуйте нашим Страницы математики.

Первый курс вероятности Шелдона Росс

Очерки вероятности и статистики Шаума

Введение в вероятность и статистику от ROHATGI и SALEH

Наверх