Биномиальная и пуассоновская случайная величина и ее свойства
Известно, что случайная величина, которая имеет дело с успехом и неудачей случайного эксперимента для n повторений, является биномиальной случайной величиной, определение ее функции массы вероятности имеет дело только с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи q, определение с примерами мы уже видели, теперь с пониманием мы видим некоторые свойства такой дискретной случайной величины,
Ожидание и дисперсия биномиальной случайной величины
Ожидание и дисперсия биномиальной случайной величины с повторением n и вероятностью успеха p
E [X] = np
и Var (X) = np (1-p)
теперь рассмотрим для демонстрации этих двух математическое ожидание случайной величины мощности k, следуя определению функция вероятности для биномиальной случайной величины как,
где Y - другая биномиальная случайная величина с n-1 попытками, а p - вероятность успеха. Если мы возьмем значение k = 1, мы получим
E [X] = np
и если мы подставим k = 2, мы получим
БЫВШИЙ2] = npE [Y + 1]
= np [(n-1) p + 1]
так что мы легко получим
Var (X) = E [X2] - (БЫВШИЙ])2
= np [(n-1) p + 1] - (np)2
= np (1-p)
Пример: Для несмещенной монеты проделайте эксперимент по подбрасыванию 100 раз, а для количества выпавших в этом случае решек найдите среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение такого эксперимента.
Хвост за один бросок имеет вероятность успеха p = 1/2 = 0.5.
так что среднее значение такого эксперимента
E [X] = np
поскольку эксперимент биномиален, и только успех или неудача мы получим за n повторений
так как μ = np
μ = 100x (0.5) = 50
Точно так же дисперсия и стандартное отклонение будут
Var (X) = np (1-p)
σ2= нп (1-р)
Стоимость будет
σ2 = (100) (0.5) (0.5) = 25
Пример: Найдите среднее значение и стандартное отклонение для вероятности дефекта 0.1 у компании-производителя болтов из партии из 400 болтов.
здесь n = 400, p = 0.1, среднее = np = 400 × 0.1 = 40
с
σ2= нп (1-р)
поэтому стандартное отклонение будет
Пример: Найдите вероятность точно, меньше и не менее 2 успехов, если среднее значение и стандартное отклонение для биномиальной случайной величины равны 4 и 2 соответственно.
Поскольку среднее значение = np = 4
и дисперсия = np(1-p) = 2,
так что 4 (1-р) = 2
(1-п) = 1/2
р = 1- (1/2)
поместив это значение в значение, мы получаем
нп = 4
п (1/2) = 4
п = 8
вероятность ровно 2 успеха будет
вероятность менее 2 успехов будет
р (Х <2)
= P (0) + P (1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7
= (1/256) +8 х (1/2) х (1/2)7 = 9 / 256
Вероятность как минимум 2-х успехов
р (Х> 2) = 1- р (Х <2)
= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256
Случайная переменная Пуассона
Дискретная случайная величина X, которая принимает значения 0,1,2 …… .., как известно, является случайной величиной Пуассона при условии, что для любого λ> 0 ее функция вероятностной массы должна быть
or
as
Когда n очень велико, а вероятность успеха p очень мала, в таком случае случайная величина Пуассона с ее функцией вероятности и массы стала приближением биномиальной случайной переменной с соответствующей pmf, потому что математическое ожидание в этом случае, которое равно np, будет умеренным, и это будет быть λ = np .
Пример: Найдите вероятность того, что есть хотя бы одна опечатка на каждой странице книги с распределением Пуассона со средним значением 1/2 для одной страницы.
Пусть дискретная случайная величина X обозначает ошибки на странице. так что случайная величина Пуассона имеет функцию массы вероятности как
λ = 1/2
Пример: Найдите вероятность того, что в выборке из 10 изделий, изготовленных на станке с вероятностью дефекта 0.1, будет не более одного дефектного изделия.
Это мы можем решить как с помощью биномиальной функции массы вероятности, так и функции массы вероятности Пуассона, поэтому мы решаем ее с помощью функции Пуассона
Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской случайной величины.
Ожидание и дисперсия пуассоновской случайной величины с n повторениями и p как вероятность успеха равны
E [X] = np = λ
и
Var (X) = np = λ
Прежде чем показать результат, мы должны иметь в виду, что случайная величина Пуассона - это не что иное, как приближение биномиальной случайной величины, поэтому np = λ теперь ожидание с использованием функции массы вероятности будет
Это означает, что математическое ожидаемое значение пуассоновской случайной величины равно ее параметру, аналогично для расчета дисперсии и стандартного отклонения пуассоновской случайной величины нам требуется математическое ожидание квадрата X, поэтому,
Вышеприведенное суммирование очевидно, поскольку две суммы - это математическое ожидание и сумма вероятностей.
Таким образом, значение дисперсии, которое мы получим, равно
Var (X) = E [X2] - (БЫВШИЙ])2
= λ
поэтому в случае пуассоновской случайной величины среднее и дисперсия имеют одинаковое значение, т.е. np в качестве параметра.
Компания Случайная величина Пуассона - это приближение, подходящее для обнаружения различных процессов, например, для определения количества землетрясений в течение некоторого определенного времени, определения количества электронов за фиксированное время от нагретого катода, определения возможного количества смертей в течение определенного времени или количества войн в конкретный год и т. д.
Пример : Рассчитайте вероятность того, что общее количество пассажиров за два дня будет меньше 2. Если количество прибывших пассажиров со средним значением 5 следует случайной переменной Пуассона. среднее = np = 5
Если считать, что количество пассажиров за два дня меньше двух, то это будет
| Первый день | Второй день | В общей сложности |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
поэтому вероятность будет сочетание из этих двух дней как
=e-10[1+5+5]
=11е-10
= 114.5410-5
= 4.994 * 10-4
Пример: Рассчитайте вероятность неисправности 4 или более конденсаторов из упаковки из 100 конденсаторов при условии, что производственный брак конденсаторов составляет 1%.
Здесь p=1%=0.01 и n=100*0.01=1.
поэтому мы можем использовать функцию массы вероятности случайных величин Пуассона PMF
среднее значение = np = 100 * 0.01 = 1
таким образом, вероятность неисправности 4 или более конденсаторов будет
=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]
Пример: если существует вероятность 0.002 для продукта, который является дефектным при производстве, для упаковки, содержащей 10 таких продуктов, какова будет вероятность того, что такая упаковка не имеет дефектов, одного дефектного и двух дефектных продуктов из партии 50000 пакеты того же продукта.
Здесь для одной упаковки вероятность брака, т.е. p=0.002, n=10
тогда среднее значение np=0.002*10=0.020
мы найдем для каждого случая как
Таким образом, из таблицы видно, что количество дефектных лезвий в пакетах нулевой, один и два будет соответственно 4900,980,10.
Вывод:
В этой статье мы обсудили некоторые свойства одного из Биномиальная случайная величина, Случайная величина Пуассона и случайный эксперимент. Также еще одна дискретная случайная величина, т.е. случайная величина Пуассона, обсуждаемая со свойствами. Распределение вероятностной функции массы, математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения также взято для лучшего понимания. В следующих статьях мы попытаемся охватить еще несколько дискретных случайных величин, если вы хотите продолжить чтение, затем прочтите Страница математики.
Очерки вероятности и статистики Шаума
