В этой статье обсуждается формула напряжения изгиба для различных типов конфигураций балки. Все мы знаем, что когда объект изгибается из-за приложения нагрузки, говорят, что он подвергается изгибу.
Очень важно знать величину напряжения изгиба, испытываемого заготовкой. Заготовка сломается, если приложенное напряжение изгиба превысит максимально допустимое напряжение изгиба. Изгиб прочность материала – это максимальное усилие на изгиб, которое может быть приложено к заготовке до того, как заготовка начнет разрушаться.
Что такое напряжение изгиба?
Начнем наше обсуждение с определения напряжения изгиба. Это просто стресс, который отвечает за изгиб части работы.
В дальнейших разделах мы увидим математические формы напряжения изгиба для различных конфигураций балки и формы поперечного сечения.
Что такое луч?
Балка — это конструктивный элемент, который в основном используется для поддержки основной конструкции. Балка не обязательно является опорой, она сама может быть конструкцией например мостов и балконов.
Наиболее часто используемые балки в промышленности консоль балки, свободно опертые балки и неразрезные балки.
Формула напряжения изгиба для балки
Изгиб стресс зависит от изгибающего момента, момента инерции поперечного сечения и расстояния от нейтральной оси, где приложена нагрузка.
Математически это можно представить как
σ = My / I
y это расстояние от нейтральной оси
I - момент инерции поперечного сечения
По модулю сечения-
σ = М/З
где,
Z - модуль сечения балки
M - изгибающий момент
Единицы формулы напряжения изгиба
Формулу напряжения изгиба можно представить в виде:
σ = My / I
Формула в единицах каждой величины может быть представлена как:
Единицы = Н – мм x мм/мм4
Из вышеизложенного мы можем вывести, что единицы напряжения изгиба:
Единицы = Н/мм2
Формула допустимого напряжения изгиба
Допустимое напряжение – это значение напряжения, выше которого напряжение не должно применяться по соображениям безопасности. Допустимое напряжение изгиба зависит от жесткость при изгибе материала.
Наблюдения и советы этой статьи мы подготовили на основании опыта команды допустимое напряжение изгиба формула может быть представлена как
σдопустимый = σМакс/Fs
где,
Fs - фактор безопасности
Вывод формулы напряжения изгиба
Рассмотрим сечение балки, как показано на диаграмме ниже:
Предположим, что на балку приложен момент М. Луч изгибается на угол тета и образует радиус кривизны R, как показано на рисунке ниже:
Деформация по нейтральной оси равна нулю. В то время как деформация, действующая на линию, к которой приложена сила, испытывает деформацию. Уравновешивая все значения деформации, мы получаем общую деформацию,
(R + y)θ – Rθ/Rθ = y/R
Напряжение также дается
Деформация = σ/E
из приведенных выше уравнений мы можем сделать вывод, что,
σ / у = E / R
Теперь,
M = Σ E/R xy2
а также,
δA = E/R Σy2 δА
М = Э/Р х я
Из приведенных выше уравнений мы заключаем, что,
σ/y = E/R = M/I
Отсюда производное.
Формула напряжения изгиба для прямоугольной балки
В зависимости от поперечного сечения балки изменяется момент инерции и, следовательно, формула напряжения изгиба.
Момент инерции прямоугольника определяется как
я = бд3/ 12
Сверху, изгибающее напряжение формула для прямоугольного луча может быть записана как-
σ = 6M/бод2
Формула напряжения изгиба для полой прямоугольной балки
Полые балки используются для уменьшения веса балки. Эти лучи могут использоваться в легких приложениях.
Рассмотрим балку с полым прямоугольным поперечным сечением, наружной длиной D и внутренней длиной d, внешней шириной B и внутренней шириной b.
Модуль сечения этого поперечного сечения будет-
Z = 1/6D х (BD3 - бд3)
Следовательно, формула напряжения изгиба для полой балки может быть дана следующим образом:
σ = 3M/(BD3 - бд3)
Формула напряжения изгиба для круглого поперечного сечения
Рассмотрим балку круглого сечения диаметром D.
Момент инерции круглого сечения можно определить по формуле:
я = πD4/ 64
Сверху мы можем записать формулу напряжения изгиба для круглой балки как:
σ = 32M/бод3
Формула напряжения изгиба для полого вала
Рассмотрим полый круглый вал с внутренним диаметром d и внешним диаметром D.
Момент инерции полого круглого сечения можно определить как
я = π (D4-d4) / 64
Сверху напряжение изгиба можно записать как
σ = 32MD/π(D4-d4)
Формула напряжения изгиба для трубы
Труба — это просто полый круглый стержень. Таким образом, формула напряжения изгиба такая же, как и для полого круглого вала.
То есть,
σ = 32MD/π(D4-d4)
Максимальное напряжение изгиба для свободно опертой балки
Общая формула напряжения изгиба остается прежней:
σ = My / I
Однако формула изменяется в зависимости от типа нагрузки. Нагрузка может быть в виде точечной нагрузки, равномерно распределенной нагрузки или равномерно переменной нагрузки. В дальнейших разделах мы увидим различные формулы для свободно опертых балок при различных формах нагрузки.
Что такое изгибающий момент?
Реакция, возникающая в конструктивном элементе, или эффект изгиба, возникающий при воздействии внешней нагрузки на балку (конструктивный элемент).
Формула изгибающего момента для различных конфигураций балки при различных типах нагрузки обсуждается в следующих разделах.
Формула изгибающего момента для неподвижной балки
Фиксированная балка — это тип балки, которая закреплена на обоих концах. На обоих концах присутствуют силы реакции. Формула изгибающего момента для неподвижной балки при различных видах нагрузки приведена ниже:
- Изгибающий момент при UDL или равномерно распределенной нагрузке
Формула для изгибающего момента неподвижной балки под действием UDL имеет вид:
М = ωL2/ 12
- Изгибающий момент при точечной нагрузке
Формула для изгибающего момента неподвижной балки под точечной нагрузкой имеет вид:
М = шL/8
- Изгибающий момент при трапециевидной нагрузке или УВЛ или равномерно-переменной нагрузке
Формула для изгибающего момента неподвижной балки при трапециевидной нагрузке имеет вид:
M1 = ωL2/ 30
Для другой стороны,
M2 = ωL2/ 20
Формула изгибающего момента для непрерывной балки
Непрерывный изгибающий момент при различных видах нагрузки показан ниже:
- Изгибающий момент при UDL
Чтобы найти изгибающий момент непрерывной балки при равномерно распределенной нагрузке, необходимо найти силы реакции в конечных точках. После этого мы должны применить условия равновесия, что сумма всех горизонтальных и вертикальных сил равна нулю, а также моменты равны нулю. Чтобы решить UDL, мы умножаем длину на величину UDL. Например, если 2 Н/м UDL прилагается к заготовке длиной 4 м, то чистая действующая нагрузка будет 2 × 4 = 8 Н в центре, то есть на 2 м.
- Изгибающий момент при точечной нагрузке
Процедура такая же, как и для UDL. Единственное отличие состоит в том, что здесь мы знаем величину силы и расстояние, на котором она действует, поэтому нам не нужно преобразовывать ее в точечную нагрузку, как мы это делали для UDL.
- Изгибающий момент при УВЛ или равномерно-переменной нагрузке
Чтобы решить UVL, нам нужно найти площадь треугольника, образованного UVL. Площадь представляет собой величину точечной нагрузки, которая будет действовать из-за УФЛ. Расстояние от вершины будет L/3, на котором будет действовать точечная нагрузка. Остальные процедуры описаны выше.
Формула изгибающего момента для прямоугольной балки
Изгибающий момент балки не зависит от формы балки. Изгибающий момент будет меняться в зависимости от условий нагрузки и типа балки (непрерывная, свободнонесущая консольная и т. д.).
Только момент инерции меняется в зависимости от формы поперечного сечения балки. Таким образом, изменяется формула напряжения изгиба. Формула напряжения изгиба для прямоугольного поперечного сечения обсуждается в предыдущем разделе.
Формула изгибающего момента для UDL
UDL или равномерно распределенная нагрузка - это тип нагрузки, которая применяется к определенной длине заготовки и одинакова по величине, где бы она ни применялась.
Формула изгибающего момента для UDL различных конфигураций балки приведена ниже:
- Для просто поддерживается луч-
Формула для изгибающего момента свободно опертой балки под UDL дается как
М = ωL2/8
- Для консольной балки-
Формула для изгибающего момента консольной балки под действием УДС имеет вид:
М = ωL2/2
Формула изгибающего момента для точечной нагрузки
Точечная нагрузка — это тип нагрузки, которая действует только в определенной точке на поверхности заготовки.
Формулы изгибающих моментов для точечных нагрузок для различных конфигураций балки приведены ниже:
- Для свободно опертой балки: Формула для изгибающего момента свободно опертой балки при точечной нагрузке определяется как M = ωL/4
- Для консольной балки: Формула для изгибающего момента консольной балки под точечной нагрузкой имеет вид: M = ωL
Для других конфигураций балки формула для изгибающего момента обсуждается в предыдущих разделах.
Формула изгибающего момента для трапециевидной нагрузки
Трапециевидная нагрузка — это тип нагрузки, которая применяется к определенной длине заготовки и изменяется линейно с длиной. Трапециевидная нагрузка является комбинацией UDL и UVL. Давайте примем величину UDL равной нулю, чтобы облегчить наши расчеты.
Изгибающий момент для различных конфигураций балки при трапециевидной нагрузке приведен ниже:
- Для свободно опертой балки– Изгибающий момент свободно опертой балки при трапециевидной нагрузке определяется как M = ωL2/ 12
- Для консольной балки– Изгибающий момент консольной балки под действием трапециевидной нагрузки определяется как M = ωL2/6
Для других конфигураций балки формула обсуждается в разделе выше.
Резюме формулы изгибающего момента
В таблице ниже приведен краткий обзор формула для разных конфигураций балки при разных типах нагрузки
| Тип балки | Точечная нагрузка | UDL | УВЛ |
| Консоль | wL | (ВЛ^2)/2 | (ВЛ^2)/6 |
| Просто поддерживается | вл/4 | (ВЛ^2)/8 | (ВЛ^2)/12 |
| Исправлена | вл/8 | (ВЛ^2)/12 | (ВЛ^2)/20 |
Резюме формулы напряжения изгиба
В таблице ниже приведена краткая сводка формул для напряжений изгиба балок различных сечений.
| поперечное сечение | Напряжение изгиба |
| прямоугольный | 6М/(бд^2) |
| Полый прямоугольный | 3м/бд^3-бд^3) |
| Круговой | 32M/бд^3 |
| Полый круговой | 32МД/(Д^4-д^4) |
