Теория вероятностей возникла из концепции риска. Сегодня есть много сложностей, связанных с азартной игрой, например, выигрыш в футбольном матче, игра в карты, бросание монеты или кости.
Теория вероятностей используется во многих различных секторах, и гибкость теория вероятности предоставляет инструменты для почти такого количества различных требований. Здесь мы собираемся обсудить теорию вероятностей и несколько примеров с помощью некоторых фундаментальных концепций и результатов.
СЛУЧАЙНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ:
«Случайный эксперимент - это своего рода эксперименты, результат которых невозможно предсказать».
ОБРАЗЕЦ ПРОСТРАНСТВА:
Множество всех возможных результатов эксперимента называется пространством выборки, обычно обозначается буквой S, и все результаты теста называются точкой выборки.
Например: подумайте о случайном эксперименте по подбрасыванию 2 монет за раз. Есть 4 исхода, составляющие пробное пространство, обозначенное как, S = {HH, TT, HT, TH}
ТРАССА И СОБЫТИЕ:
Каждое непустое подмножество A пространства отсчетов S называется событием. Рассмотрим эксперимент по бросанию монеты. Когда мы бросаем монету, мы можем найти голову (H) или хвост (T). Здесь бросание монеты - это след, а получение головы или хвоста - событие.
СОСТАВНЫЕ СОБЫТИЯ:
События, полученные путем объединения двух или более основных событий, называются составными событиями или разлагаемыми событиями.
ИЗЛОЖНЫЕ СОБЫТИЯ:
Общее количество возможных результатов любого следа называется исчерпывающими событиями.
Например: при броске кубика потенциальные результаты - 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Таким образом, у нас всего 6 событий в бросании кости.
ВЗАИМНО-ИСКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА МЕРОПРИЯТИЙ:
Пусть S - пространство отсчетов случайного эксперимента, если X1, ИКС2, …..ИКСn подмножества S и
(и) Хi ∩ Хj = Φ для i ≠ j и (ii) X1 ∪ Х2 ……… ∪ Xn =S
Тогда этот набор X1∪ Х2 ……… ∪ Xn как говорят, создает взаимоисключающую и исчерпывающую систему событий.
Что такое независимость?
Когда мы вытаскиваем карту из кармана хорошо настроенных карт, а во-вторых, мы также извлекаем карту из остального пакета карт (содержащего 51 карту), то второе извлечение зависает на первом. Но если, с другой стороны, мы вытаскиваем вторую карту из колоды, вставляя первую вытянутую карту (заменяя), второй розыгрыш известен как независимый от первого.
Пример: Брошены две монеты. Пусть первая монета с головой будет событием X, а Y - второй монетой с хвостом после броска. Два события X и Y в основном независимы.
Пример: Выпадают две честные кости. Если на первом кубике выпадает нечетное число, считайте это событием X, а для второго четного числа - событием Y.
Два события X и Y взаимно независимы.
Пример: карта берется из колоды, состоящей из 52 карт. Если A = карта Червей, B = карта - король, а A ⋂ B = карта - король червей, то события A и B зависимы
ВЫГОДНОЕ КОЛИЧЕСТВО СЛУЧАЕВ: Количество дел, в которых разрешается рассмотрение какого-либо события в судебном разбирательстве, - это общее количество первичных событий, при которых аспект любого из них обеспечивает возникновение события.
Что подразумевается под вероятностью
Если в результате произвольной демонстрации n несоответствующие, одинаково вероятные и исчерпывающие результаты, из которых m согласны с наступлением события A, то вероятность возникновения A дан кем-то
Обозначение вероятности: P (X) = m / n
Для двух событий X и Y,
(i) X ′ или Икс или XC указывает на отсутствие или отрицание X.
(ii) Х ∪ Y означает наличие хотя бы одного из X и Y.
(iii) Х ∩ Y означает одновременное появление X и Y.
(iv) X ′ ∩ Y ′ означает отсутствие одного и другого X и Y.
(v) X⊆ Y означает «событие X указывает на появление Y».
Пример: Ведро содержит 6 красных и 7 черных шариков. Найдите вероятность выпадения шариков красного цвета.
Решение: Всего нет. возможных способов получить 1 шарик = 6 + 7
Количество способов получить 1 красный шарик = 6
Вероятность = (Количество благоприятных случаев) / (Общее количество исчерпывающих дел) = 6/13
Пример: Из колоды из 52 карт случайным образом вытягивается 1 карта. Найдите вероятность получить карту королевы.
Решение: карту королевы можно выбрать 4 способами.
Общее количество способов выбора 1 карты королевы = 52
Вероятность = Количество благоприятных случаев / Общее количество исчерпывающих дел = 4/52 = 1/13
Пример: Найдите вероятность выброса:
(а) получение 4, (б) нечетное число, (в) четное число
с обыкновенным штампом (шестигранным).
Решение: Проблема в проблеме с игральными костями
а) При броске кубика есть только один способ получить 4.
Вероятность = Количество благоприятных случаев / Общее количество исчерпывающих дел = 1/6
б) Количество способов выпадения нечетного числа 1, 3, 5 = 3
Вероятность = Количество благоприятных случаев / Общее количество исчерпывающих дел = 3/6 = 1/2
в) Количество способов выпадения четного числа 2, 4, 6 = 3
Вероятность = Количество благоприятных случаев / Общее количество исчерпывающих дел = 3/6 = 1/2
Пример: Каков возможный шанс найти короля и королеву, если из колоды из 2 игральных карт вытянуты 52 карты?
Решение: Из колоды 2 карты можно взять 52 карты = 52C2 (52 выберите 2) способов
52 C2 =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326
1 карту королевы можно выбрать из 4 карт королевы = 4C1= 4 способа (4 выбирают 1)
1 карта короля может быть взята из 4 карт короля = 4C1= 4 способа (4 выбирают 1)
Благоприятные случаи = 4 × 4 = 16 способов
P (вытягивание 1 ферзя и 1 карты короля) = Количество благоприятных случаев / Общее количество исчерпывающих случаев = 16/1326 = 8/663
Пример: Каковы шансы получить 4, 5 или 6 при первом броске и 1, 2, 3 или 4 во втором броске, если кости брошены дважды.
Решение:
Пусть P (A) = вероятность получить 4, 5 или 6 в первом броске = 3/6 = 1/2.
и P (B) = вероятность получить 1, 2, 3 или 4 во втором броске = 4/6 = 2/3
быть вероятностью событий тогда
Пример: Книга с общим количеством страниц 100, если любая из страниц выбрана произвольно. Какова вероятность того, что сумма всех цифр номера страницы выбранной страницы равна 11.
Решение: Количество благоприятных способов получить 11 будет (2, 9), (9, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 7), (7, 4), (5, 6). ), (6, 5)
Следовательно, требуемая вероятность = 8/100 = 2/25.
Пример: Ведро содержит 10 белых, 6 красных, 4 черных и 7 синих шариков. Наугад извлекаются 5 шариков. Какова вероятность того, что 2 из них красного цвета, а один - черного цвета?
Решение:
Всего нет. шариков = 10 + 6 + 4 + 7 = 27
Из этих 5 шариков можно вытянуть 27 шариков = 27 выберите 5 способов
= 27C5=27!/[5!(27-5)!]=(27*26*25*24*23)/(5*4*3*2)=80730
Всего нет. исчерпывающих событий = 80730
2 красных шарика можно нарисовать из 6 красных шариков = 6 способов
= 6C2=6!/[2!(6-2)!]=(6*5)/2=15
1 черный шарик можно вытащить из 4 черных шариков = 4 выбрать 1 способ = 4C1=4
∴ Количество благоприятных случаев = 15 × 4 = 60
Следовательно, требуемая вероятность = Количество благоприятных дел Общее количество исчерпывающих дел
Вывод:
Компания теория вероятности очень интересно и применимо в нашей повседневной жизни, поэтому вероятность Теория и примеры кажутся нам знакомыми, это на самом деле полная теория, которая сегодня используется во многих технологиях и приложениях. Эта статья была всего лишь проблеском концепции вероятности, в последующих статьях будут рассмотрены детали концепции и результаты вероятности. , для получения дополнительных сведений см. книгу ниже:
Ссылка: Обзор вероятностей и статистики Шаума.
Если вас интересуют другие темы по математике, см. эту страницу.
